课时分层作业(三十一)直线与平面垂直(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线a和b在正方体ABCDA1B1C1D1中的两个不同平面内，下列使a∥b成立的条件个数是()①a和b垂直于正方体的同一个平面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．A．1B．2C．3D．4C[①②③一定能使a∥b成立，④不一定使a∥b成立，例如在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥AB，BC⊥AB，显然AA1与BC不平行．]2．下列语句中不正确的是()A．l⊥α⇒l与α相交B．m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥αC．l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥αD．l⊥α，m⊥α⇒l∥mB[B中若m∥n，不能得出l⊥α.]3．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是()A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形D[如图， PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD． PC⊥BD，且PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD．]4．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．其中为真命题的是()A．①②B．②③C．②④D．①④D[①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD；④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC．故选D．]5．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°A[取AC的中点D，连接DB，C1D，则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角，在△ABC中，易得BD＝.在△DCC1中，易得DC1＝，在Rt△BC1D中，tan∠BC1D＝＝，即∠BC1D＝30°.]二、填空题6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．4[如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD． PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，且PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4，即P到BC的距离为4.]7．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为________．垂直[ AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1， ∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1B1B，又AM⊂平面AA1B1B，∴AM⊥BC．]8．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．2[ PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD．又 PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ，∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.]三、解答题9．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：AC⊥平面PBD．[证明](1)设AC∩BD＝H，连接EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又EH⊂平面BDE，且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．由(1)可得，DB⊥AC，又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD．10．如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．[证明](1) SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC． 四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC．又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.又AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC．(2) SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．又AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG，又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．能判定直线与此平面垂直的有()A．①②B．①③C．②④D．③④B[由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还...
