高中数学 常见数列类型的通项公式的求法 三 已知数列的递推公式求通项-人教版高三全册数学试题VIP免费

常见数列类型的通项公式的求法三、已知数列的递推公式求通项类型1：已知的前n项和与的关系，则先求，再由求或与其它项的关系，进而转化为等差（比）数列求通项，并验算此时的在时是否成立。若成立，则通项公式是，若不成立，则要用分段函数来表示。例5．（2015新课标Ⅰ（17））为数列{}的前n项和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通项公式：（Ⅱ）设,求数列的前n项和解：（Ⅰ）当时，， ∴=3，当时，==，即， ∴=2，∴数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，故=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，所以数列{}前n项和为==.评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式。并要检验用an=Sn－Sn－1（n≥2）所求的能否包含(当不包含时，最后结果要写成分段函数来表示)。变式练习12.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．解：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝变式练习13.（2013新课标Ⅰ14.）{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.解:当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.变式练习14.（2016新课标Ⅲ理）已知数列的前n项和，其中．（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若，求．解：（Ⅰ）由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，解得．变式练习15.（2014新课标Ⅰ（17））已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.解：(Ⅰ)由题设，，两式相减，得，由于，所以…………6分（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；证明时，{}为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，∴数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，∴∴（），因此，存在存在，使得{}为等差数列.………12分类型2：形如的数列{}，则用递推法或累(叠)加法求。思路1（递推法）：＝…。思路2（叠加法）：……………………将各式叠加并整理得，即。评注：当f（n）为常数时，数列{an}就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用叠加法求出来的。例6．（2010辽宁理数(16)）已知数列满足则的最小值为___.【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。解：，则上述各式相加，得当且仅当即时取“＝”，但，，，所以，的最小值为。或由求导法，得在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,，，，所以，的最小值为。变式练习16.数列{}满足=1，且，求。解：，由叠加法，得思考：若上题中“”改为“”，则结果如何？分析：是首项为2，公差为1的等差数列，则。变式练习17.[2014温州十校联考]已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图像过点(－4n，0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)f′(x)＝2ax＋b.由题意知f′(0)＝b＝2n，16n2a－4nb＝0，∴a＝，b＝2n，∴f(x)＝x2＋2nx，n∈N*.又数列{an}满足＝f′（），f′(x)＝x＋2n，∴＝＋2n，∴－＝2n.由叠加法可得－＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，化简可得an＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝4也符合上式，∴an＝(n∈N*)．(2) bn＝＝＝2(－)，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝21－＋－＋…＋－＝21－＝.变式练习18.（2010新课标，理17）设数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和解：（1）由已知，当n≥1时，。而所以数列{}的通项公式为。（Ⅱ）由知①从而②①-②得：。即...