高中数学 常见数列类型的通项公式的求法 二 已知数列是等差（比）数列用公式法求通项-人教版高三全册数学试题VIP免费

常见数列类型的通项公式的求法二、已知数列是等差（比）数列,用公式法求通项1.等差数列通项公式：（d为公差）；2.等比数列通项公式：（q为公比）例2.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和．解：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）因为所以数列的前项和为例3.[2014江西]已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n-1，求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n-1，知an＝(2n－1)3n-1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.变式练习5.（2015课标Ⅱ卷理）设是数列的前n项和，且，，则．解：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．变式练习6.[2014全国]等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0，解得－≤d≤－，因此d＝－3.故数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.变式练习7.[2014山东]已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n-1，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1) S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，∴(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，∴an＝2n－1.(2)由题意可知：bn＝(－1)n-1＝(－1)n-1＝(－1)n-1.当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝.当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.所以Tn＝变式练习8.[2014重庆]设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)（略）解：(1)方法一：由an＋1＝＋1≥1,得a2＝2，a3＝＋1，(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*)．方法二：a2＝2，a3＝＋1.可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.因此猜想an＝＋1.下面用数学归纳法证明上式．当n＝1时，结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1，则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1，这就是说，当n＝k＋1时结论成立．所以an＝＋1(n∈N*)．变式练习9.（2012新课标Ⅰ（16））数列满足，则的前项和为。解法一： an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…，a50﹣a49=97，…从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{an}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故答案为：1830．或者：可知连续四项的和构成首项是10、公差是16的等差数列，故的前项和为解法二：可证明：变式练习10.（2011全国，理20）设数列{an}满足a1＝0且.(1)求{an}的通项公式；(2)设，记，证明：Sn＜1.【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明，考查考生分析问题、解决问题的能力.解：(Ⅰ)由题设,即是公差为1的等差数列.又,故.所以……………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)，得,…………………………12分例4.[2014浙江]已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求an与bn.(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn；(ii)求正整数k，使得对任意n∈N*,均有Sk≥Sn.解：(1)由a1a2a3…an＝，得两式相除，得b3－b2＝6，知a3＝...