第四讲三角形的“五心”一、知识归纳1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部。2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角形内。4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外。5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。二、例题解析例1：在锐角△ABC中，内角为A、B、C三边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为。例2：如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分别为D、E、F，则H是△DEF的；A、垂心B、重心C、内心D、外心1AFBDCEH例3：如图，D是△ABC的边BC上任一点，点E、F分别是△ABD和△ACD的重心连结EF交AD于G点，则DG：GA＝；例4：设△ABC的重心为G，GA＝，，，则＝；例5：若H为△ABC的重心，AH＝BC，则∠BAC的度数是；A、45°B、30°C、30°或150°D、45°或135°例6：已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝10，AC＝9，DE＝12，求平行四边形ABCD的面积。2ABCEGFMDNAEBCDOG三、课堂练习1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为；2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径＝；3、在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos（∠OBC+∠OCB）=;4、设G为△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则△ABC的面积为；5、若，那么以、、为三边的△ABC的内切圆，外接圆的半径之和为；A、B、C、D、6、△ABC的重心为G，M在△ABC的平面内，求证：3第四讲三角形的“五心”例题解析答案例1：解：答案依次为：1：1：1；；；例2：解：内心例3：解：例4：解：例5：解：D例6：分析：设AC交DE于G，可推出G为△ABD的重心，∠EGA＝90°，故可求出及S□ABCD。解：设AC、BD交于G，连BD交AC于O（如图）由□ABCD知BO＝DO，OA＝OC而BE＝AE故G为△ABD的重心有，而EA＝5，故,∠EGA＝90°，＝6∴S□ABCD＝2＝72课堂练习答案：1、6.5，2、23、4、725、A6、略4
