第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1)当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2)当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3)当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)(2)(3)解：(1)，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为：，∴原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为：，∴原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．练：说出下列各方程的根的情况（1）（2）（3）【例2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．1解：(1)；(2)；(3)；(4)．二、一元二次方程的根解法进一步地，在一元二次方程有实数根的前提下，该实数根具体是多？这就涉及到一元二次方程的根的求法解法一（因式分解法）若可分解为，那么由可得从而得到或【典例】解一元二次方程解：原方程可化为故练：解一元二次方程（1）（2）（3）解法二（配方法）一元二次方程，用配方法将其变形为：两边开方即可得到方程的根【典例】解一元二次方程解：原方程可化为即故从而即练：解一元二次方程（1）（2）（3）解法三（公式法）对于一元二次方程，(1)当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2)当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：【典例】解一元二次方程2解：由所以原方程有两个不相等的实数根所以即练：解一元二次方程（1）（2）（3）三、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：(1)(2)(3)(4)说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：3，，，，，等等．韦达定理体现了整体思想．练：若是方程的两个根，试求下列各式的值（1）（2）(3)；(3)；(4)；(5)A组1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()A．B．C．D．2．若是方程的两个根，则的值为()A．B．C．D．3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()A．B．C．D．4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是()A．B．C．D．大小关系不能确定5．若实数，且满足，则代数式的值为()A．B．C．D．6．如果方程的两根相等，则之间的关系是______4练习7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程的两根之差为1，则的值是_____．9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．10．已知实数满足，则=_____，=_____，=_____．11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．13．已知关于的一元二次方程．(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为，且满足，求的值．14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．(1)取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是时，求的值．B组1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，...
