4．3.2空间两点间的距离公式1．在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝．点M(4，－3，5)到坐标原点O(0，0，0)的距离为d＝＝5．如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？答案：表示球心为O，球半径为r的球．2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝．►思考应用若点P(x，y，z)到点A(2，1，4)的距离为5，则x，y，z满足什么关系式？你能想象点P的集合是什么吗？解析：＝5，∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.点P的集合是以(2，1，4)为球心，半径为5的球面．1．坐标原点到下列各点的距离最小的是(A)A．(1，1，1)B．(1，2，2)C．(2，－3，5)D．(3，0，4)2．点P(2，3，4)到y轴的距离是(B)A.B．2C．5D.解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，∴|PP′|＝＝＝2.3．点(1，0，2)位于(C)A．y轴上B．x轴上C．xOz平面内D．yOz平面内4．点P(1，4，－3)与点Q(3，－2，5)的中点坐标是(C)A．(4，2，2)B．(2，－1，2)C．(2，1，1)D．(4，－1，2)1．点到原点的距离是(B)A.B．1C.D.解析：|PO|＝＝1.2．点M(3，－2，1)关于面yOz对称的点的坐标是(A)A．(－3，－2，1)B．(－3，2，－1)C．(－3，－2，－1)D．(－3，2，1)解析：关于面yOz对称的两个点应该是横坐标互为相反数，纵、竖坐标不变，故选A.3．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(x，－1，6)的距离为，则x等于(C)1A．2B．－8C．2或－8D．8或－2解析：由＝，∴(x＋3)2＝25，∴x＝2或－8.4．与两点A(3，4，5)，B(－2，3，0)距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(A)A．10x＋2y＋10z－37＝0B．5x－y＋5z－37＝0C．10x－y＋10z＋37＝0D．10z－2y＋10z＋37＝0解析：由|MA|＝|MB|，即(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A.5．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)的距离是(D)A．2B．2C．9D.6．已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，求：(1)线段AB中点的坐标和A与B的距离；(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件，并指出方程表示什么图形．解析：(1)M(x，y，z)是AB的中点，则x＝＝2，y＝＝1，z＝＝，∴M点的坐标为.两点间的距离|AB|＝＝.(2)由P(x，y，z)到A、B两点的距离相等．则＝，化简得4x＋4y－6z＋3＝0.即到A、B的距离相等的点的坐标(x，y，z)满足的条件是4x＋4y－6z＋3＝0.方程表示的图形是线段AB的垂直平分面．7．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为，则P点坐标为________________________________________________________________________．解析：设点P的坐标为(x，0，0)，由题意，得|P0P|＝，即＝.∴x＝9或x＝－1.∴P点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)8．在空间直角坐标系中，已知A(0，0，3)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，则△ABC的面积是多少？解析：|AB|＝＝，|BC|＝＝2，|AC|＝＝，∵|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形，则BC边上的高h＝＝.∴S△ABC＝|BC|·h＝×2×＝.29．在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．解析：(1)假设y轴上存在M点满足|MA|＝|MB|设M(0，y，0)由|MA|＝|MB|，可得＝，显然，此式对任意y∈R恒成立．∴y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设y轴存在点M，使△ABC为等边三角形．由(1)可知，y轴上任意一点都有|MA|＝|MB|，∴只要满足|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．∵|MA|＝，|AB|＝＝，∴＝，解得y＝±.∴存在点M(0，，0)或(0，－，0)．10．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A(3，－1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，求该正方体的棱长．解析：|AM|＝＝，∴对角线|AC1|＝2，设棱长x，则3x2＝(2)2，∴x＝.空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，常应用在四个方面：一是根据坐标求距离，二是根据距离求点的坐标，三是利用边长判断三角形的形状，四是求空间中点的轨迹方程．目的都是考查空间中两点间距离公式，解答时可类比平面上解决类似问题的方法．在求轨迹方程时，注意理解方程表示的图形．3
