4．2.1直线与圆的位置关系直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断如下表所示：位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝dr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交．(1)直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，－1)或(－1，1)，故直线与圆的位置关系为相交．(2)直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，1)．故直线与圆的位置关系为相切．►思考应用如何求直线被圆所截得的弦长？解析：①应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系：r2＝d2＋.②利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b，与圆两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(B)A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：圆心(0，0)到直线的距离为＝<1，且(0，0)不在直线y＝x＋1上，故选B.2．下列说法中正确的是(D)A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B．与半径垂直的直线与圆相切C．过半径外端的直线与圆相切D．过圆心且与切线垂直的直线过切点解析：A为相交，B、C中的直线有无数条．3．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为(C)A．2B.－1C．2－1D．14．已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(C)A．5B．4C．3D．2解析： |a－1|＝2，又a>0，∴a＝3.5．经过点M(2，1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为(C)A.x＋y－5＝0B.x＋y＋5＝01C．2x＋y－5＝0D．2x＋y＋5＝0解析：设过点M的圆的切线上任一点的坐标为(x，y)， 点M(2，1)在圆x2＋y2＝5上，∴·＝－1，即2x＋y－5＝0.1．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1，2)，则直线PQ的方程是(B)A．x＋2y－3＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＝0解析：结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1，2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.2．已知点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最大值是(D)A．6B．8C．3－D．3＋解析：直线AB的方程是＋＝1，∣AB∣＝2，则当△ABC面积最大时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M(1，0)，半径r＝1，点M到直线的距离为，由圆的几何性质得d的最大值是＋1，所以△ABC面积的最大值是×2·＝3＋.3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程是(D)A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0解析：圆心为C(2，0)，则直线CP的斜率为＝－，又切线与直线CP垂直，故切线斜率为，由点斜式得切线方程：y－＝(x－1)即x－y＋2＝0.4．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(A)A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝05．已知圆C的方程为：x2＋y2＝4.(1)求过点P(1，2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程．解析：(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由＝2得k1＝0，k2＝－，故所求的切线方程为y＝2或4x＋3y－10＝0.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，2－)，这两点的距离为2，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d，则2＝2，∴d＝1，∴1＝，∴k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.6.圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(A)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝17．若实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值为(D)A.B.C.D.解析：方程(x－2)2＋y2＝3的曲线是以A(2，0)为圆心，以为半径的圆，实数x，y是圆上的点P(x，y)的坐标，而是直线OP的斜率，由下图可知当点P在第一象限且OP为圆的切线时，k最大．得(1＋k2)x2＋1－4x＝0，Δ＝12－4k2＝0，有k＝±.∴k最大即最大为.故选D.8．直线y＝x＋b与曲线y...
