3.3三角函数的积化和差与和差化积知识点一：积化和差1．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于A．－mB．mC．－D.2．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为A.B.C.D.3．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是A．[－1,1]B．[－，]C．[－，]D．[－，]4．计算sin105°cos75°的值是A.B.C．－D．－5．函数y＝sin(x＋)sin(x＋)的最小正周期T＝__________.知识点二：和差化积6．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是A．－sin(x＋y)sin(x－y)B．cos(x＋y)cos(x－y)C．sin(x＋y)cos(x－y)D．－cos(x＋y)sin(x－y)7．函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1是A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数8．化简sin(θ＋)＋sin(θ＋)的结果是__________．9．把cosx＋cos2x＋cos3x＋cos4x化成积的形式．10．把下列各式化为积的形式：(1)sin122°＋sin36°；(2)sin75°－sin15°；(3)cos75°－cos23°.能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]．其中正确等式的个数是A．0B．1C．2D．312．函数f(x)＝asinx＋acos(x－)(x∈R)的最大值是，则实数a等于A.B．－C.D．－13．化简cos＋cos＋cos所得结果为A．sinB.sinC．－D．－cos14．函数y＝的最小正周期是__________．15．求证：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝sin3α.能力点二：公式的综合应用16.在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形17．如果向量a＝(cosα＋sinα，2009)，b＝(cosα－sinα，1)，且a∥b，那么＋tan2α＋1的值是__________．18．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－，求cos的值．19．已知sin(＋2α)sin(－2α)＝，α∈(，)，求：2sin2α＋tanα－cotα－1的值．20．已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB·AC≤6，设〈AB，AC〉＝θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．答案与解析1．Asin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos2α－cos2β)＝－[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝－(cos2α－cos2β)＝－m.2．A原式＝[sin90°＋sin(－50°)]＋(－cos60°＋cos40°)＝－sin50°＋cos40°－＝.3．CcosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈[－，]．4．B5．π6．B7．Cy＝＋－1＝[cos(2x－)－cos(2x＋)]＝－sin2x·sin(－)＝sin2x，∴函数是周期为π的奇函数．8．－sinθ9．解：原式＝(cosx＋cos4x)＋(cos2x＋cos3x)＝2cosxcosx＋2cosxcos＝2cosx(cosx＋cos)＝4cosx·cosx·cos.10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin·cos＝2sin79°·cos43°；(2)sin75°－sin15°＝2cos·sin＝2cos45°·sin30°＝；(3)cos75°－cos23°＝－2sinsin＝－2sin49°·sin26°.能力提升11．B根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．12．Af(x)＝asinx＋asin[－(x－)]＝a[sinx＋sin(－x＋)]＝2asincos(x－)＝acos(x－)，∴a＝，a＝.13．C原式＝＝＝＝－.14.＝＝＝＝tan(2x＋)，∴y＝tan(2x＋)，T＝.15．证明：左边＝sinα·(－)(cos120°－cos2α)＝sinα＋sinαcos2α＝sinα＋[sin3α＋sin(－α)]＝sinα＋sin3α－sinα＝sin3α.∴左边＝右边，原等式成立．16．B在△ABC中，∵sinBsinC＝cos2，∴sinBsinC＝，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)．∴cos(B－C)＝1.∴B－C＝0，即B＝C.17．2010∵a∥b，∴cosα＋sinα－2009(cosα－sinα)＝0，即＝2009.又＋tan2α＋1＝＋＋1＝＋1＝＋1＝＋1＝2009＋1＝2010.18．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∵＝－2，∴＋＝－2.∴cosA＋cosC＝－2cosAcosC.利用和差化积及积化和差公式得2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，∴cos＝－(－＋2cos2－1)，化简得4cos2＋2cos－3＝0，又(2cos－)(2cos＋3)＝0，∵2cos＋3≠0，∴cos＝.19．解：由已知，得－(cos－cos4α)＝，∴cos4α＝.∵α∈(，)，∴4α∈(π，2π)．∴4α＝.∴2α＝.∴2sin2α＋tanα－cotα－1＝2sin2α＋－－1＝1－cos2α＋－1＝－cos2α－＝－cos－＝＋＝.拓展探究20．解：(1)设△ABC的角A、B、C所对应的边的边长分别为a、b、c.则S△ABC＝bcsinθ＝3.∴bc＝.①由已知：0≤AB·AC≤6，得0≤bccosθ≤6，②将①代入②得0≤≤6，即0≤cotθ≤1，又θ为△ABC的内角，∴θ∈[，]．(2)f(θ)＝1－cos(＋2θ)－cos2θ＝1－2cos(2θ＋)cos＝1－cos(2θ＋)，由(1)知≤θ≤，∴≤2θ≤π.∴≤2θ＋≤.∴－1≤cos(2θ＋)≤－.∴－≤cos(2θ＋)≤－.∴当θ＝时，ymax＝1＋，当θ＝时，ymin＝1＋.
