【成才之路】2015-2016学年高中数学3.2.2三角恒等式的应用课时作业新人A教版必修4基础巩固一、选择题1．已知tan＝3，则cosα－sinα＝()A．B．－C．D．－[答案]D[解析] tan＝3，∴tan2＝＝9，∴cosα＝－. tan＝，∴sinα＝3×()＝，∴cosα－sinα＝－－＝－.2．(2013·江西文)若sin＝，则cosα＝()A．－B．－C．D．[答案]C[解析]本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin＝，所以cosα＝1－2sin2＝1－2()2＝.3．函数y＝的周期等于()A．B．πC．2πD．3π[答案]C[解析]y＝＝tan，T＝＝2π.4．函数y＝sin2x＋sin2x的值域是()A．B．C．D．[答案]C[解析] y＝sin2x＋sin2x＝sin2x＋＝＋sin，∴值域为.5．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是()A．B．C．D．[答案]B[解析]由于函数f(x)的图象关于x＝对称，则f(0)＝f，∴a＝－－，∴a＝－，∴g(x)＝－sinx＋cosx＝sin，∴g(x)max＝.6．函数y＝cos2ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期是π，则函数f(x)＝2sin(ωx＋)的一个单调递增区间是()A．[－，]B．[，]C．[－，]D．[，]1[答案]B[解析]y＝cos2ωx－sin2ωx＝cos2ωx(ω>0)，因为函数的最小正周期为π，故＝π，所以ω＝1.则f(x)＝2sin(ωx＋)＝2sin(x＋)，∴2kπ－≤x＋≤2kπ＋即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，当k＝1时，函数的一个增区间是[，]．二、填空题7．函数f(x)＝sinx－cosx的递增区间是________．[答案][2kπ－，2kπ＋π](k∈Z)[解析] f(x)＝sinx－cosx＝sin(x－)，∴2kπ－≤x－≤2kπ＋，即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)8．已知函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx(ω>0)的周期为，则ω＝________.[答案]2[解析]f(x)＝sin2ωx－＝sin2ωx－cos2ωx－＝sin－，则有＝，∴ω＝2.三、解答题9．已知向量OP＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)OQ＝(cosx，－1)，定义f(x)＝OP·OQ.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析](1) f(x)＝OP·OQ＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)·(cosx，－1)＝2cos2x＋cosx－cos2x＋sinx－1＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，∴函数f(x)＝sin(x＋)的最小正周期为2π.(2)当x＋＝2kπ＋，k∈Z即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝.当x＋＝2kπ－即x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)min＝－.10．某一扇形铁皮，半径长为1，圆心角为，今铁皮匠想从中剪下一个矩形ABCD，如右图所示，设∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大面积．[解析]在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.在Rt△OAD中，＝tan60°＝，∴OA＝DA＝BC＝sinα，∴AB＝OB－OA＝cosα－sinα.设矩形ABCD的面积为S，则2S＝AB·BC＝(cosα－sinα)sinα＝sinα·cosα－sin2α＝sin2α－(1－cos2α)＝sin2α＋cos2α－α＝(sin2α＋cos2α)－＝sin(2α＋)－. 0<α<，∴当2α＋＝，即α＝时，S最大＝－＝.能力提升一、选择题1．函数y＝cos4x－sin4x＋2的最小正周期是()A．πB．2πC．D．[答案]A[解析]y＝cos2x－sin2x＋2＝cos2x＋2，.T＝＝π.2．函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1是()A．周期为2π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为2π的偶函数[答案]C[解析]y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1＝＋－1＝＝＝. ＝π，且sin(－2x)＝－sin2x.3．(2011·重庆高考)设△ABC的三个内角为A、B、C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于()A．B．C．D．[答案]C[解析] m·n＝1＋cos(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．又A＋B＝π－C，∴整理得sin(C＋)＝. 0
