【优化指导】2015年高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）课时跟踪检测新人教A版必修4知识点及角度难易度及题号基础中档稍难三角函数式的化简求值1、510条件求值问题46、7、8综合问题2、39、11121．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于()A．1B．－1C．0D．±1解析：由于sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，所以sinα＝0.所以α＝kπ，k∈Z.当k为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin2β－sin2β＝0，当k为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin2β＋sin2β＝0.综上可知，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝0.答案：C2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.又A、B是△ABC的内角，∴A－B＝0，即A＝B.故选C.答案：C3．在锐角△ABC中，设x＝sinAsinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是()A．x≤yB．xy解析：∵π>A＋B>，∴cos(A＋B)<0.即cosAcosB－sinAsinB<0，亦即y－x<0，∴x>y.答案：D4．若α为锐角，sin＝，则cosα的值等于()A.B.C.D.解析：∵α为锐角，sin＝，∴cos＝.∴cosα＝cos＝coscos－sinsin1＝×－×＝.答案：A5．化简sin＋cos的结果是______．解析：原式＝cosα＋sinα＋cosα－sinα＝cosα.答案：cosα6．设角θ的终边经过点(3，－4)，则cos的值为______．解析：由三角函数定义可知，sinθ＝＝－，cosθ＝＝，∴cos＝(cosθ－sinθ)＝×＝.答案：7．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．解：∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝.∴＝＝.8．已知α，β都为锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝，求sinβ与cosβ的值．解：由于α，β都为锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝，则cosα＝＝＝，sin(α＋β)＝＝＝.sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.故sinβ＝，利用同角关系式，得cosβ＝.9．函数f(x)＝cosx(1＋tanx)的最小正周期为()A．2πB．πC.πD.π解析：f(x)＝cosx＝cosx·＝2＝2cos，∴T＝2π.答案：A10．已知cos＋sinα＝，则sin＝________.解析：cos＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，从而cosα＋sinα＝，即sin＝，所以sin＝sin＝－sin＝－.2答案：－11．若sinα＝，sinβ＝，且α、β为锐角，求α＋β的值．解：∵α、β均为锐角，∴cosα＝＝，cosβ＝＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.又∵α、β为锐角，∴0<α＋β<π.∴α＋β＝.12．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sinβ＝－，求sinα的值．解：(1)∵a＝(cosa，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．又∵|a－b|＝，∴＝，即2－2cos(α－β)＝，cos(α－β)＝.(2)∵0＜α＜，－＜β＜0，∴0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝，sinβ＝－，∴sin(α－β)＝，cosβ＝.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cosβ＋cos(α－β)·sinβ＝×＋×＝.1．运用两角和与差的三角函数公式关键在于构造角的和差．在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能地利用已知条件进行化简或求值．2．灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式．然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题．3
