活页作业(二十三)方程的根与函数的零点知识点及角度难易度及题号基础中档稍难求函数的零点14、711函数零点的所在区间29函数零点的个数35、810二次函数的零点分布69121．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是()A．1，－4B．4，－1C．1,3D．不存在解析：函数f(x)＝x2－3x－4的零点就是方程x2－3x－4＝0的两根4与－1.答案：B2．函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且函数f(x)＝3x＋x－2的图象在(0,1)上连续不断．答案：C3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点．故选B.答案：B4．已知x0是函数f(x)＝2x－x的零点，若00B．f(x1)<0C．f(x1)＝0D．f(x1)>0与f(x1)<0均有可能解析：由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x1)0，即f(2)·f(3)<0，∴函数在(2,3)内存在零点，∴k＝2.2答案：210．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．11．求函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出其简图．解：令f(x)＝x3－2x2－x＋2＝0，则有x2(x－2)－(x－2)＝(x＋1)(x－1)(x－2)＝0，∴函数f(x)的零点为－1,1,2.又f(0)＝2>0，根据函数零点的性质可知在区间(－1,1)内，f(x)>0；在区间(－∞，－1)内，f(x)<0；在区间(1,2)内，f(x)<0；在区间(2，＋∞)内，f(x)>0.其图象如图所示．12．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点，(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．解：(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．则解得k＝－2.(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，∴则∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是，即α2＋β2的取值范围为.31．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．4
