高中数学 2.9空间几何中的平行和垂直的综合应用练习（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP免费

2.9空间几何中的平行和垂直的综合应用练习1.已知m,n表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列三个命题:(1)⇒m∥n;(2)⇒n∥α;(3)⇒m⊥n.其中推理正确的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】若则m∥n,即命题(1)正确;若则n∥α或n⊂α,即命题(2)不正确;若则m⊥n,即命题(3)正确.故选C.【答案】C2.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是().A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC【解析】∵D∈l,l⊄平面β,∴D∈平面β.∵D∈AB,AB⊄平面ABC,∴D∈平面ABC,∴D在平面ABC与平面β的交线上.∵C∈平面ABC,且C∈平面β,∴C在平面β与平面ABC的交线上,∴平面ABC∩平面β=CD.【答案】C3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.1【解析】由EF∥平面AB1C,可知EF∥AC,所以EF=AC=×2=.【答案】4.如图,正方形的边长为2,PA⊥平面ABCD,DE∥PA,且PA=2DE=2,F是PC的中点.(1)求证:EF∥平面ABCD;(2)求证:平面PEC⊥平面PAC.【解析】(1)连接BD交AC于O点,连接FO,∵F是PC的中点,O是AC的中点,2∴FO∥PA且FO=PA,又DE//PA,且DE=PA,∴FO􀱀ED,∴四边形EFOD为平行四边形,∴EF∥OD,又EF⊄平面ABCD,OD⊂平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥OD,又OD⊥AC,且PA∩AC=C,∴OD⊥平面PAC,又EF∥OD,∴EF⊥平面PAC,又EF⊂平面PEC,∴平面PEC⊥平面PAC.5.对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n,下列命题中真命题是().A.若a⊥m,a⊥n,m⊂α,则a⊥αB.若a∥b,b⊂α,则a∥αC.若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥bD.若a⊂β,b⊂β,a∥α,b∥α,则β∥α【解析】A中m,n应为相交直线;B中a可能在α上;D中a,b也应为相交直线;故选C.【答案】C6.四面体ABCD中,AD与BC互相垂直,且AB+BD=AC+CD.则下列结论中错误的是().A.若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高,则这两条高所在直线异面B.若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高,则这两条高长度相等C.AB=AC且DB=DCD.∠DAB=∠DAC3【解析】作BE⊥AD交AD于点E,连接CE,因为AD⊥AC,所以AD⊥平面BEC,所以AD⊥CE,所以A错误;设AB+BD=AC+CD=m,则BE2=AB2-AE2=(m-AB)2-DE2,可得:AB=,同理AC=,∴AB=AC,故B,C,D正确.【答案】A7.在正四面体ABCD(棱长均相等的三棱锥)中,O为底面△BCD的中心,M是线段AO上一点,且使得∠BMC=90°,则的值为.【解析】如图,设正四面体ABCD的棱长为2,由∠BMC=90°,得BM=,又可得BO=,在Rt△BOM中,MO=,由勾股定理得AO=,所以=1.【答案】148.三棱锥P-ABC,底面是边长为2的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D为PA上一点,AD=2DP,O为底面三角形中心.(1)求证:DO∥平面PBC;(2)求证:BD⊥AC.【解析】(1)连接AO交BC于点E,连接PE,5∵O为正三角形ABC的中心,∴AO=2EO,又AD=2DP,∴DO∥PE,∵DO⊄平面PBC,PE⊂平面PBC,∴DO∥面PBC.(2)∵PB=PC,且E为BC中点,∴PE⊥BC,又平面PBC⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC,由(1)知,DO∥PE,∴DO⊥平面ABC,∴DO⊥AC.连接BO,则AC⊥BO,又DO∩BO=O,∴AC⊥平面DOB,∴AC⊥BD.69.在边长为4cm的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,M、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,重合后的点记为B,构成一个三棱锥,则MN与平面AEF的位置关系是.【解析】如图,由题意可知点M、N在折叠前后都分别是AB、CF的中点(折叠后B、C两点重合),所以MN∥AF,又因为MN⊄平面AEF,AF⊂平面AEF,所以MN∥平面AEF.【答案】MN∥平面AEF710.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)若点M是棱PC的中点,求证:PA∥平面BMQ;(2)求证:平面PQB⊥平面PAD.【解析】连接AC,交BQ于N,连接MN,∵BC∥AD且BC=AD,即BC􀱀AQ,∴四边形BCQA为平行四边形,∴N为AC中点,又∵点M是棱PC的中点,∴MN∥PA,∵MN⊂平面BMQ,PA⊄平面BMQ,∴PA∥平面BMQ.8(2)(法一)∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ,∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD,∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.(法二)∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴BC∥DQ且BC=DQ,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ,∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.∵PA=PD,∴PQ⊥AD,∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ,∵AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.9