课时作业(十四)等比数列的综合应用A组基础巩固1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A．31B．33C．35D．37解析：根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33.答案：B2．在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是()A．14B．16C．18D．20解析：S4＝1，S8＝3.∴S8－S4＝2， S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16，…，成等比数列，且公比为2，∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝1·24＝16.答案：B3．如果一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为96，则此等比数列的项数为()A．12B．10C．8D．6解析：设等比数列为{an}，其项数为2n，公比为q，则a1＝1，an＋an＋1＝96.S偶＝，S奇＝.由S偶＝2S奇，得a2＝2a1＝2.∴q＝2.由an＋an＋1＝96，得2n－1＋2n＝96.∴3·2n－1＝96，即2n－1＝32，∴n＝6,2n＝12.答案：A4．在等比数列中，已知a1aa15＝243，则的值为()A．3B．9C．27D．81解析： a1a15＝a，∴a＝243＝35，∴a8＝3，∴＝＝a9·a7＝a＝9.答案：B5．1＋＋＋…＋的值为()A．18＋B．20＋C．22＋D．18＋解析：该数列的通项为an＝1＋＋＋…＋＝2，可以看作11项求和，则前11项的和为S11＝2＋2＋…＋2＝2×11－2×＝20＋，所以B正确．答案：B6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝Sn·Sn－1(n≥2)，a1＝，则a10等于()A.B.C.D.解析：由an＝Sn·Sn－1(n≥2)，得Sn－Sn－1＝Sn·Sn－1(n≥2)，∴－＝－1，∴＝－n＋1＝－n，∴Sn＝，∴a10＝S10－S9＝－＝.答案：C7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比，若等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．答案：8．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.解析： a1＝3，a4＝81，∴3q3＝81，∴q＝3，an＝3×3n－1＝3n，∴bn＝log33n＝n，＝，∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋＝1－＝.答案：9．已知等差数列{an}满足a2＝0，.a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件，得解得1故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋.故S1＝1，＝＋＋…＋.所以，当n>1时，＝a1＋＋…＋－＝1－－＝1－－＝.所以Sn＝.当n＝1时，S1符合此式．综上，数列的前n项和Sn＝.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解：(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，当n＝1时也适合，所以an＝4n－1，n∈N*.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1)·2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)·2n＋5.故Tn＝(4n－5)·2n＋5，n∈N*.B组能力提升11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是()A.B.C.D.解析：设等比数列{an}的公比为q，则8a1q＋a1q4＝0，得q＝－2，∴＝q2＝4；＝q＝－2；＝＝；而＝，由于n未知，故无法确定其值．答案：D12．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.解析：由an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq2＋anq－2an＝0，显然an≠0，所以q2＋q－2＝0.又q≠1，解得q＝－2.又a1＝1，所以S5＝＝11.答案：1113．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1) 当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，故{an}的通项公式为an＝4n－2，即{an}是a1＝2，公差d＝4的等差数列．设{bn}的公比为q...
