【优化指导】2015年高中数学2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量数量积的运算1、412与模有关的问题2、59、10向量的夹角与垂直问题3、67、8、111．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a∥bD．a－b与b垂直解析：|a|＝1，|b|＝，故A不正确；又a·b＝，所以B不正确；显然C不正确；a－b＝，又×＋×＝0，所以(a－b)⊥b.故选D.答案：D2．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于()A．23B．57C．63D．83解析：3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.答案：D3．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形解析：cosA＝＝＝0，则A＝，故选B.答案：B4．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝()A.B.C．5D．25解析：|a＋b|＝5⇒a2＋2a·b＋b2＝50，条件代入得|b|＝5.选C.答案：C5．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为________．解析：|a|＝，|b|＝，a·b＝13，设a与b的夹角为θ，由cosθ＝＝，∴a在b方向的投影为|a|cosθ＝×＝.答案：6．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝(k,1)，AC＝(2,3)，则k的值为______．解析：BC＝AC－AB＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴2(2－k)＋3×2＝0，k＝5.答案：517．已知向量AB＝(4,0)，AC＝(2,2)，则AC与BC的夹角的大小为________．解析：BC＝AC－AB＝(2,2)－(4,0)＝(－2,2)，所以AC·BC＝2×(－2)＋2×2＝0.所以AC⊥BC.即AC与BC的夹角为90°.答案：90°8．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值．(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．所以cosθ＝＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，所以3k－3＋6k＋3＝0.所以k＝0.9．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，]B．[0，]C．[1,2]D．[，2]解析：|a＋b|＝＝.∵θ∈，∴cosθ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．答案：D10．已知a＝(2,1)与b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________．解析：a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，∴|a＋tb|＝＝.∴当t＝时，|a＋tb|有最小值.答案：11．已知点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°？若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标．解：假设存在点C(0，y)，使∠ACB＝90°，则AC⊥BC.∵AC＝(－1，y－2)，BC＝(－4，y＋1)，AC⊥BC，∴AC·BC＝4＋(y－2)(y＋1)＝0.∴y2－y＋2＝0.而在方程y2－y＋2＝0中，Δ＜0，∴方程无实数解．故不存在满足条件的点C.12．平面内有向量OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，OP＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．(1)当QA·QB取最小值时，求OQ的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．2解：(1)设OQ＝(x，y)．∵点Q在直线OP上，∴向量OQ与OP共线．又OP＝(2,1)，∴x＝2y.∴OQ＝(2y，y)．又QA＝OA－OQ＝(1－2y,7－y)，QB＝OB－OQ＝(5－2y,1－y)，∴QA·QB＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.故当y＝2时，QA·QB有最小值－8，此时OQ＝(4,2)．(2)由(1)知QA＝(－3,5)，QB＝(1，－1)，QA·QB＝－8，|QA|＝，|QB|＝，∴cos∠AQB＝＝－.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3
