课时作业(十一)等比数列A组基础巩固1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16解析：由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝aq＝16>0，∴q>0，∴q＝4.答案：B2．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8解析：∵a2010＝8a2007，∴q3＝＝8，∴q＝2.答案：A3．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低，2000年价格为8100元的计算机到2015年时的价格应为()A．900元B．2200元C．2400元D．3600元解析：a4＝8100·3＝2400.答案：C4．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A.B.或C.D.解析：设{an}公比为q，∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a1＋a2，∴a1q2＝a1＋a1q.∴q2－q－1＝0，解得q＝.∵数列各项都是正数，∴q>0，∴q＝，∴＝q＝.故选C.答案：C5．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前三项是－3，－6，－12，则第四项为－24.答案：A6．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为()A．7B．8C．9D．16解析：∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an，∵a1＝1≠0，∴an≠0，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8.答案：B7．若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________.解析：∵{an}是等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，a9＋a10为等比数列，∴a9＋a10＝1×44＝256.答案：2568．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.解析：当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－＝(an－an－1)，∴an＝－2an－1，即＝－2，∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.答案：(－2)n－19．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2，∴{an}是等比数列，∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.110．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn.解：∵{an}是等差数列，∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d，又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，∴a＝a5a13，即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)·(a1＋12d)，解得d＝2a1.设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝＝，又b2＝b1q＝5，即b1＝5，解得b1＝3，∴bn＝3·n－1.B组能力提升11．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8D．16解析：∵a3a11＝a＝4a7，a7≠0，∴a7＝4，b7＝4.∵{bn}是等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8，故选C.答案：C12．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式，由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.答案：2n13．设a，b，c是实数，3a,4b,5c成等比数列，且，，成等差数列，求＋的值．解：∵3a,4b,5c成等比数列，∴16b2＝15ac.①∵，，成等比数列，∴＝＋.②由①，得·15ac＝64.③②代入③，得2·15ac＝64，∴ac＝，∴＋＝.14．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．求证：数列是等比数列．证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn，∴n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，∴nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴＝2，又∵＝1≠0，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.2
