高中数学 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系 2.4.2 空间两点的距离公式例题与探究 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题VIP免费

2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式典题精讲例1点P(-3,2,-1)关于平面xOy的对称点是________________;关于平面yOz的对称点是________________;关于平面zOx的对称点是________________;关于x轴的对称点是________________;关于y轴的对称点是________________;关于z轴的对称点是________________;关于原点的对称点是________________.思路解析:注意到点的对称方式,看清楚三维坐标对称后的符号的变化.关于平面xOy的对称点横、纵坐标不变号，竖坐标变号；关于平面yOz的对称点纵、竖坐标不变号，横坐标变号；关于平面zOx的对称点横、竖坐标不变号，纵坐标变号；关于x轴的对称点横坐标不变号，纵、竖坐标变号；关于y轴的对称点纵坐标不变号，横、竖坐标变号；关于z轴的对称点竖坐标不变号，纵、横坐标变号；关于原点的对称点横、纵和竖坐标都变号.答案：(-3,2,1)(3,2,-1)(-3,-2,-1)(-3,-2,1)(3,2,1)(3,-2,-1)(3,-2,1)绿色通道：求对称点的坐标的规律是：关于谁对称，谁的坐标就不变号，其余的都要变号.变式训练1(2006东北三校一模，18)点P在x轴上，它到点P1(0，2，3)的距离是到点P2(0，1，-1)的距离的2倍，求点P的坐标.思路分析:本题给出了一个相等关系，即可以用方程的思想解决,即设出点P的坐标，然后将题意转化成方程进行解答.解：因为点P在x轴上，设P(x，0，0)，|PP1|=，|PP2|=.∵|PP1|=2|PP2|，∴.解得x=±1.故所求点的坐标为(1，0，0)或(-1，0，0).例2建立球心为M0(x0，y0，z0)，半径为R的球面方程.思路分析:根据到球心距离等于球半径列方程.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆，与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心以定长为半径的球面.解：设M(x，y，z)是球面上的任意一点〔如图2-4-(1,2)-3〕，那么|M0M|=R，即=R.两边同时平方，得所求的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2.如果球心在原点，那么x0=y0=z0=0，这时球面的方程为x2+y2+z2=R2.图2-4-(1,2)-3绿色通道：空间两点间的距离公式是目前我们解决空间问题的唯一的工具.变式训练2证明以A(4,3,1)、B(7,1,2)、C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形.思路分析:根据两点间的距离公式分别求出线段AB、BC、AC的长，然后就可发现这三条线段中有两条长度相等，即可得证.解：由两点间距离公式得|AB|=,|BC|=,|CA|=.由于|BC|=|CA|=6，所以△ABC是一等腰三角形.问题探究问题根据“在直线坐标系中，研究点，在平面直角坐标系中，研究线(主要是直线和曲线)”，探究在空间直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么，如何表示.导思：在直线坐标系中，研究点的方法是建立一元方程，即任意一个实数都对应数轴上的一点；在平面直角坐标系中，研究线的方法是建立二元方程，这个方程是不定方程，有无数组解，每一个解都对应平面上的一个点，这些点的集合构成线；因此，在空间直角坐标系中，研究的对象应该是面，研究面的方法应该是建立三元方程，当然三元方程也是不定方程，也有无数组解，每一个解对应空间中的一个点，这些点的集合构成面.探究：在平面直角坐标系中，到原点(0，0)的距离等于定长R的点的集合是以原点为圆心，以定长R为半径的圆.圆的方程可以这样得到：设到原点(0，0)的距离等于定长R的任意一点P的坐标为(x,y)，则根据两点间距离公式有=R，即x2+y2=R2.那么在空间直角坐标系中，到原点O(0，0，0)的距离等于定长R的点的集合是什么呢？我们不妨设到原点O(0，0，0)的距离等于定长R的任意一点的坐标为P(x,y,z)，则根据空间两点间的距离公式,得=R，即x2+y2+z2=R2,它表示一个球面.