2.4空间直角坐标系堂探究探究一空间中点的坐标1．过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定z坐标．2．构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．3．若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．【典型例题1】已知一个长方体的长、宽、高分别为5,3,4，试建立适当的空间直角坐标系，写出长方体的各个顶点的坐标．思路分析：可以以长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，也可以以长方体的中心作为原点．解：如图所示，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.易知|AB|＝3，|BC|＝5，|AA1|＝4，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，D(0,5,0)，A1(0,0,4)，C(3,5,0)，D1(0,5,4)，B1(3,0,4)，C1(3,5,4)．点评建立坐标系的原则是让更多的点落在坐标轴上，进而使得点的坐标表示比较简单．探究二空间中的对称问题在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有如下对称规律：点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)；点P关于x轴的对称点是P2(x，－y，－z)；点P关于y轴的对称点是P3(－x，y，－z)；点P关于z轴的对称点是P4(－x，－y，z)；点P关于坐标平面xOy的对称点是P5(x，y，－z)；点P关于坐标平面yOz的对称点是P6(－x，y，z)；点P关于坐标平面xOz的对称点是P7(x，－y，z)．【典型例题2】(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是()Ａ.(－2,1，－4)B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4)D．(2,1，－4)解析：由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．答案：B(2)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()Ａ.(－2,1，－4)B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4)D．(2,1，－4)解析：由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点P2的坐标为(－2,1，－4)．答案：A探究三空间两点的距离公式的应用求空间两点间的距离的步骤：【典型例题3】(1)若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为()Ａ.4B．2C．4D．3解析：|AB|＝＝4.答案：A(2)在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|=|BC|=2，|D1D|=3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．①写出点D，N，M的坐标；②求线段MD，MN的长度．解：①因为D是原点，则D(0,0,0)．由|AB|=|BC|=2，|D1D|=3，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．因为N是AB的中点，所以N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)．②由两点间的距离公式，得|MD|=＝，|MN|==.探究四空间中点坐标公式的应用平面上的中点坐标公式可推广到空间，即设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P.大家对数轴上的中点公式，平面上的中点公式及空间中的中点公式进行对比，以加深理解．【典型例题4】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标是()Ａ.(0,0,0)B．(2，－1，－4)C．(6，－3，－12)D．(－2,3,12)解析：设对称点为P3，则点M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．答案：C探究五易错辨析易错点：因忽视动点M所处的范围而致误【典型例题5】已知点A(1,2,3)，B(3，－1，－2)，且|MA|＝|MB|，求动点M的轨迹方程．错解：设M(x，y，z)，依题意得，(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝(x－3)2＋(y＋1)2＋(z＋2)2，整理得2x－3y－5z＝0.所以动点M的轨迹方程为2x－3y－5z＝0，轨迹是线段AB的垂直平分线．错因分析：把平面几何中的结论硬套在空间几何中了，实际上满足|MA|＝|MB|的动点M在空间中的轨迹是线段AB的垂直平分面．注意范围的改变．正解：设M(x，y，z)，依题意，得(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝(x－3)2＋(y＋1)2＋(z＋2)2，整理得2x－3y－5z＝0，所以动点M的轨迹方程为2x－3y－5z＝0，轨迹是线段AB的垂直平分面．
