【优化指导】2015年高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量共线的判定1、2、310由向量共线求参数56、7、8向量共线的应用49111．已知m，n∈R，向量a＝(2m＋1，m＋n)与b＝(－2,0)平行，则m，n满足的条件是()A．m＋n＝0B．m－n＝0C．－m＋n＝0D．m＋n＝1解析：由题意得，(2m＋1)×0－(m＋n)×(－2)＝0，∴m＋n＝0.答案：A2．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是()A．(k，k)B．(－k，－k)C．(k2＋1，k2＋1)D．(k2－1，k2－1)解析：因为(k2＋1)＋(k2＋1)＝2k2＋2＞0，所以a与(k2＋1，k2＋1)一定不平行．答案：C3．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析：因为a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0，x2＋1)，又x2＋1≥1，所以a＋b与y轴平行．故选C.答案：C4．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若AB和CD是相反向量，则D点坐标是()A．(1,0)B．(－1,0)C．(1，－1)D．(－1,1)解析：∵AB与CD是相反向量，∴AB＝－CD，又AB＝(1,1)，∴CD＝(－1，－1)．设D(x，y)，则CD＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1.即D(1，－1)．答案：C5．设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α＝______.解析：∵a∥b，∴×－sinα＝0.得到sinα＝，而α为锐角，∴α＝45°.答案：45°6．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为______．解析：∵A，B，C共线，∴AB∥AC.∵AB＝(2，m＋2)，AC＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0.∴mn＋2m＋2n＝0.1∵mn≠0，∴＋＝－.答案：－7．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，所以u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝.8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则AB＝(x－1，y－2)＝b.由⇒又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.答案：或9．已知OA＝(－2，m)，OB＝(n,1)，OC＝(5，－1)，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，则m＋n＝________.解析：AB＝OB－OA＝(n,1)－(－2，m)＝(n＋2,1－m)，BC＝OC－OB＝(5，－1)－(n,1)＝(5－n，－2)．因为A，B，C共线，所以AB与BC共线．所以－2(n＋2)＝(1－m)(5－n)．①又m＝2n，②解①②组成的方程组得或所以m＋n＝9或.答案：9或10．已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)．因为AE＝AC，所以AE＝.因为BF＝BC，所以BF＝.所以(x1＋1，y1)＝.所以所以所以E.所以(x2－3，y2＋1)＝.所以所以所以F.所以EF＝.又因为4×－×(－1)＝0，所以EF∥AB.211．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．解：如图所示，设M(x0，y0)，N(x，y)，由MA＝2AN，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)．∴代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，整理得x2＋y2＝1.∴所求的轨迹方程为x2＋y2＝1.1．应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征，具体运用时，要注意向量的共线、平行与几何中的共线、平行的区别．2．平面向量共线的坐标表示定理中的“当且仅当”就是说若x1y2－x2y1＝0，则a，b共线；反过来，若a与b共线，则x1y2－x2y1＝0.3．两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)当b≠0，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．3
