课时作业20平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是()A．(－4，)B．(4，－)C．(－8,1)D．(8,1)解析：AB＝(OB－OA)＝[(－5，－1)－(3，－2)]＝(－8,1)＝(－4，)．答案：A2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为()A．(2，)B．(2，－)C．(3,2)D．(1,3)解析：令D(x，y)，由已知得，解得.答案：A3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于()A．{(1,2)}B．{(1,2)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)}D．∅解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴解得故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．答案：C4．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝()A．(1，)B．(，)C．(，)D．(－，－)解析：a－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(5－2×(－4)＋3x，－2－2×(－3)＋3y)＝(13＋3x,4＋3y)＝0，∴∴.故选D.答案：D5．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)解析：如下图，依题意，得1∵QC＝AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴PC＝PQ＋QC＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，∴BC＝3PC＝(－6,21)．答案：B6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)解析：∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，∴4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)．又∵表示4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0.解得d＝(－2，－6)．∴选D.答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知边长为1的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2AB＋3BC＋AC的坐标为__________．解析：根据题意建立坐标系如图，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴AB＝(1,0)，BC＝(0,1)，AC＝(1,1)．∴2AB＋3BC＋AC＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．答案：(3,4)28．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有OC＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈R，则x＝________.解析：取O(0,0)，由OC＝λOA＋(1－λ)OB得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴解得答案：29．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)⊗m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于________．解析：由(1,2)⊗m＝(5,0)，可得解得∴(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．答案：(2,0)三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求AB，AC，AB＋AC，AB－AC，2AB＋AC.解：∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，∴AB＝(7－4,5－6)＝(3，－1)，AC＝(1－4,8－6)＝(－3,2)，AB＋AC＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，AB－AC＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)，2AB＋AC＝2(3，－1)＋(－3,2)＝(，－1)．11．已知向量AB＝(4,3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标．(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求λ与y的值．解：(1)设B(x1，y1)，因为AB＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以所以所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝＝－，y2＝＝－1，所以M(－，－1)．(2)由PB＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，又PB＝λBD(λ∈R)，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以所以12．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝AB，DA＝－BA，求点C、D和CD的坐标．解：设C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意可得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)，∵AC＝AB，DA＝－BA，∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)，(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)，即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)，3∴∴∴C、D的坐标分别为(0,4)、(－2,0)．因此CD＝(－2，－4)．4
