2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式自我小测1．设m，n是两个非零向量，且m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下等式中与m⊥n等价的个数为()①m·n＝0；②x1x2＝－y1y2；③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝．A．1B．2C．3D．42．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°3．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)4．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈的概率为()A．B．C．D．5．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为()A．B．C．D．6．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为__________．7．定义一种新运算⊗：a⊗b＝|a|·|b|sinθ，其中θ为a与b的夹角，已知a＝(－，1)，b＝，则a⊗b＝__________．8．已知a＝(5,12)，|a－b|＝3，则|b|的取值范围是__________．9．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值．10．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ．参考答案1．解析：①②显然正确；对③④两边平方，化简，得m·n＝0，因此也是正确的，故选D．答案：D2．解析：设c＝(x，y)，则由(a＋b)·c＝，得x＋2y＝－．又cos〈a，c〉＝＝＝－，即〈a，c〉＝120°．答案：C3．解析：设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1．当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)．故选C．答案：C4．解析：由已知，a与b的夹角为α，且α∈，所以m2＋n2．所以m2>n2．又因为m，n为正整数，所以m>n．由题意，知所有的a的个数为36，满足m>n的向量的个数为15，故所求的概率为＝．答案：B5．解析：设b＝(x，y)，由已知条件，知|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos45°．所以解得或因为向量a按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限，所以x>0，y>0．所以b＝，故选B．答案：B6．答案：－7．解析：据定义a⊗b＝2××sinθ，又cosθ＝＝－，所以sinθ＝，即a⊗b＝．答案：8．解析：∵a＝(5,12)，∴|a|＝13．∵|b|＝|a－(a－b)|，且|a|－|a－b|≤|a－(a－b)|≤|a|＋|a－b|，∴10≤|b|≤16．答案：[10,16]9．解：(1)证明：因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，所以＝(1,1)，＝(－3,3)．所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD．(2)因为四边形ABCD为矩形，所以⊥，＝．设C点的坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，所以解得所以C点的坐标为(0,5)．从而＝(－2,4)，＝(－4,2),所以||＝，||＝，·＝8＋8＝16．设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为．10．解：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，所以k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2．所以(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．因为|a|＝1，|b|＝1，所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝＝．(2)由(1)，得a·b＝＝，由函数的单调性的定义，易知f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当k＝1时，a·b的最小值为f(1)＝×(1＋1)＝．此时a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以θ＝60°．
