2．3.2向量数量积的运算律知识点一：向量的数量积1．已知向量a与b满足|a|＝3，|b|＝6，〈a，b〉＝，则a·b等于A．－9B．9C．9D．－92．已知非零向量m，n满足m·n≥0，则m与n夹角θ的取值范围是A．[0，)B．[0，]C．[，π)D．[，π]3．一物体在力F的作用下沿水平方向由A运动至B，已知AB＝10米，F与水平方向成30°角，|F|＝5牛顿，则物体从A运动到B力F所做的功W＝__________________________________________________________________________________________.4．给出下列命题中，①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；④若a·b＝0，则a、b至少有一个为0；⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中真命题为________．5．(2010江西高考，文13)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是__________．知识点二：向量数量积的性质及运算律6．向量a，b、c满足a＋b＋c＝0且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于A．1B．2C．4D．57．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是A.B.C.D.8．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形9．(2010湖南高考，文6)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°10．设a，b，c为任意向量，m∈R，下列各式中①(a－b)＋c＝a－(b－c)②m(a＋b)＝ma＋mb③(a－b)·c＝a·c－b·c④(a·b)c＝a(b·c)⑤|a·b|＝|a||b|不成立的有________．11．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.(1)若θ＝，求|a＋b|；(2)若a与a－b垂直，求θ.能力点一：有关数量积的计算问题12．已知非零向量a，b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则等于A.B．4C.D．213．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的正射影的数量为A.B．3C．4D．514．对于任意向量x和y，|x||y|与x·y的大小关系是A．|x||y|≤x·yB．|x||y|＞x·yC．|x||y|≥x·yD．|x||y|＜x·y15．已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－λb|的最小值为A．4B．2C．2D.16．若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.17．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b夹角的取值范围．18.设平面内两个向量a与b互相垂直且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．(1)若x＝a＋(t－4)b与y＝－ka＋tb互相垂直，求k关于t的函数解析式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(t)取最小值时的向量x、y.能力点二：数量积的应用19．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为A．6B．2C．2D．220．(2010四川高考，理5)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|等于A．8B．4C．2D．121．(2010天津高考，文9)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD等于A．2B.C.D.22．在边长为的等边三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，CA＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝________.23．在△ABC中，设AB＝c，BC＝a，CA＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．24．在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.答案与解析基础巩固1．A2.B3．75W＝|F|·|AB|·cos30°＝5×10×＝75.4．①5．1b在a上的投影是|b|cos60°＝2×＝1.6．D|c|2＝c2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b， a⊥b，∴a·b＝0.∴|c|2＝1＋22＝5.7．C8．B(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|2－|AC|2＝0，∴|AB|＝|AC|.9．C0＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2， |a|＝|b|≠0，∴2cos〈a·b〉＋1＝0，cos〈a，b〉＝－，〈a，b〉＝120°.10．④⑤11．解：(1) |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋()2＋2×1××cos＝3＋，∴|a＋b|＝.(2)由条件得a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b＝|a|·|b|·cosθ.∴cosθ＝＝...
