2.3.1向量数量积的物理背景与定义5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.力使一个物体产生的位移为H，F与H的夹角为α，那么力F所做的功可表示为()A.|F||H|sinαB.|F||H|cosαC.|F||H|tanαD.|F||H|cotα解析：由功的物理意义.答案：B2.以下命题中，不与“非零向量a、b夹角为钝角”等价的是（）A.非零向量a在非零向量b上的正射影为负值B.非零向量a、b的内积为负值C.非零向量a、b的长度皆小于a-b的长度D.非零向量a、b的平方和大于a+b的平方解析：由三角形法则知a、b、a-b恰构成一个三角形，令|a|＜|b|＜|a-b|，且a与b夹角为锐角即可否定C选项的条件.答案：D3.已知|p|=2，|q|=3，且p与q的夹角为120°，则向量p在q方向上的正射影值为_____________；向量q在p方向上的正射影值为_____________.解析：向量p在q方向上的正射影值为|p|sθ=2×cos120°=-1.同理，|q|cosθ=3×cos120°=.答案：-14.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·(b)=-36，则a与b的夹角为____________.解析：(3a)·(b)=3|a||b|cos〈a，b〉=3×10××12cos〈a，b〉=-36,∴cos〈a，b〉=. cos〈a，b〉∈［0°，180°］.∴cos〈a，b〉=120°.答案：120°10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列命题正确的是()A.若|a|=|b|，则a=bB.若a、b为非零向量，则|a-b|＜|a+b|C.若x、y满足|x+y|=|x|+|y|，则x·y=|x||y|D.若x、y为非零向量，则x与y同向的条件是存在实数k，使得x=ky解析：对于A，显然不成立；对于B，|a-b|＜|a+b||a-b|2＜|a+b|2(a-b)2＜(a+b)2a2+b2-2a·b＜a2+b2+2a·ba·b＞0，所以当a与b夹角为锐角时命题才能成立；对于C，|x+y|=|x|+|y||x+y|2=(|x|+|y|)2(x+y)2=|x|2+|y|2+2|x||y|x2+y2+2x·y=x2+y2+2|x||y|x·y=|x||y|，所以该命题正确；对于D，当且仅当k为正实数时才能成立.答案：C2.已知a、b都是单位向量，则下列结论中正确的是（）A.a·b=1B.a2=b2C.a∥ba=bD.a·b=0解析：单位向量是指模长为1的向量，对方向没有要求，因此夹角也无从得知，故A、C、D不正确，而|a|=，故B正确.答案：B3.在△ABC中，=a，=b，且a·b＞0，则△ABC为三角形.（）A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角解析： ·＞0，∴·＜0，即∠ABC为钝角.答案：C4.若|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b等于()A.B.C.D.12解析： a·b=|a||b|cos135°=3×4×()=.答案：B5.若|a|=2，b=-2a，则a·b=______________.解析：|b|=2|a|=4，且b与a反向，∴〈a，b〉=180°.∴a·b=|a||b|cos180°=2×4×(-1)=-8.答案：-86.已知|a|=4，|b|=5，当①a∥b；②a⊥b；③〈a，b〉=120°时，分别求a与b的数量积.解：①a∥b，则a与b同向时，〈a，b〉=0°，此时a·b=|a||b|cos0°=4×5=20.a与b反向时，〈a，b〉=180°，此时a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.②a⊥b时，a·b=0.③〈a，b〉=120°，则a·b=|a||b|s〈a，b〉=4×5×()=-10.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.对任意向量x和y，|x||y|与x·y的大小关系是（）A.|x||y|≤x·yB.|x||y|＞x·yC.|x||y|≥x·yD.|x||y|＜x·y解析：设x与y夹角为θ，则x·y=|x||y|cosθ≤|x||y|·1=|x||y|.特别地，当x或y等于0时，x·y=|x||y|=0；当θ=0°时，x·y=|x||y|.答案：C2.在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则·等于()A.16B.8C.-16D.-8解析： ∠C=90°，AC=BC=4，故△ABC为等腰直角三角形，∴BA=，∠ABC=45°.∴·=4×cos45°=16.答案：A3.(2006高考陕西卷，9)向量、满足()·=0且，则△ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形解析：由=∠A=60°.又由()·=0，知∠A的平分线与BC垂直，所以△ABC为等边三角形.答案：A4.已知|a|=4，b在a方向上的正射影的数量为-8，则a·b等于()A.16B.32C.-16D.-32解析： ab=|a||b|cos〈a，b〉=4×(-8)=-32.答案：D5.已知a·b=2，|a|=|b|=，则下面正确的是()A.〈a，b〉=45°B.a⊥bC.a与b同向D.a与b反向解析：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，即2=cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉=1.∴〈a，b〉=0°，即a∥b，且a与b同向.答案：C6.已知|a|=8，e为单位向量，当它们之间夹角为60°时，a在e方向上的正射影为()A.-4B.4C.2D.-2解析： |a|cos60°=8×=4.答案：B7.若非零向量α，β满...
