2.3.2向量数量积的运算律5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.有下面四个关系式：①0·0=0；②(a·b)c=a(b·c)；③a·b=b·a；④0a=0.其中正确的个数是…（）A.4B.3C.2D.1解析：只有③是正确的.①错，因为数量积的结果是数量而不是向量；②错，因为数量积不满足结合律；④错，因为实数与向量的积结果应是向量.答案：D2.已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面的向量中与2e2-e1垂直的是（）A.e1+e2B.e1-e2C.e1D.e2解析：依题意，|e1|2=|e2|2=1，θ=，∴e1·e2=|e1||e2|cosθ=.对于A，(e1+e2)·(2e2-e1)=2e22-e12+e1·e2=；对于B，(e1-e2)·(2e2-e1)=-2e22-e12+3e1·e2=；对于C，e1·(2e2-e1)=2e1·e2-e12=0；对于D，e2·(2e2-e1)=2e22-e1·e2=.∴e1⊥(2e2-e1).答案：C3.已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为，则|a+b|、|a-b|的值分别为___________、___________.解析：依题意得a2=|a|2=25，b2=|b|2=25.a·b=|a||b|cosθ=5×5×cos=.∴|a+b|=.同理,|a-b|==5.答案：54.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60°，则(a+2b)·(a-3b)=___________.解：(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.答案：-7210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.关于向量a、b，下列命题中正确的是（）A.a-b=a+(-b)B.a-a=0C.|a-b|＞|a|-|b|D.a∥b存在唯一的λ∈R，使b=λa解析：向量的和与差仍是向量，因此B是错误的，应改为a-a=0.根据向量减法的三角形法则，当非零向量a与b不共线时，|a-b|＞|a|-|b|；当a与b同向或a，b中有一个为0时，|a-b|=||a|-|b||，因此C不正确；D是在判断两向量平行时最常见的错误，它成立的前提是a≠0.答案：A2.向量m和n满足|m|=1，|n|=2，且m⊥(m-n)，则m与n夹角的大小为（）A.30°B.45°C.75°D.135°解析：设m与n夹角为θ，则由m⊥(m-n)，知m·(m-n)=0，m2-m·n=0，∴m·n=m2=|m|2=1.∴cosθ=.∴θ=45°.答案：B3.已知非零向量a、b、c两两夹角相等，且|a|=|b|=|c|=1，则|a+b+c|等于（）A.0B.1C.3D.0或3解析：a、b、c两两夹角相等有两种情形：夹角为0°(即三个向量同向)和夹角为120°.答案：D4.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a·b+b·c+c·a=___________.解析：解法一：根据已知条件，知|c|=|a|+|b|，c=-a-b，从而可知a与b同向，c与a、b反向.所以有a·b+b·c+c·a=3×1×cos0°+1×4×cosπ+4×3×cosπ=3-4-12=-13.解法二：因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)，所以a·b+b·c+c·a===-13.答案：-135.已知|a|=4，|b|=5，且a，b夹角为60°.求值：(1)a2-b2；(2)(2a+3b)·(3a-2b).解：(1)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9;(2)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2=6×16+5×4×5cos60°-6×25=-4.6.在△ABC中，若·=·=·，那么点O是△ABC的什么特殊点？解：如图，由·=·,得·(-)=0，·=0.∴⊥即OB⊥CA.同理,OC⊥AB.⊥BC.∴O为△ABC的垂心.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.以下等式中恒成立的有（）①|a·b|=|a||b|②(a·b)2=a2·b2③|a|=④a2-2b2=(a-b)·(a+b)A.1个B.2个C.3个D.4个解析：对于①，|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|，仅当θ=0°或180°时或b=0或a=0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的内积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确.答案：B2.若a+b=c，a-b=d，且c⊥d，则一定有()A.a=bB.|a|=|b|C.a⊥bD.|a|=|b|且a⊥b解析： c⊥d，∴(a+b)·(a-b)=0.∴a2-b2=0,即|a|=|b|，故应选B.答案：B3.(2006高考浙江卷，文2)设向量a，b，c满足a+b+c=0，a⊥b，|a|=1，|b|=2，则|c|2等于()A.1B.2C.4D.5解析：|c|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=|a|2+|b|2=5.答案：D4.已知a，b是非零向量，满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是()A.B.C.D.解析：由(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，∴a·(a-2b)=0，b·(b-2a)=0.∴a2=2a·b，b2=2a·b.∴2|a||b|cosθ=|a|2=|b|2.cosθ=，∴θ=.答案：B5.在菱形ABCD(如图2-3-1)中，下列关系式不正确的是（）图2-3-1A.∥B.(+)⊥(+)C.(-)·(-)=0D.·=·解析：A显然正确；B：+=，+=， 菱形对角线垂直，∴⊥.∴B正确;C：-=，-=，同B一样，正确.D：·=||||co...
