向量数量积的物理背景与定义1．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的数量为()A．4B．43C．42D．3822．对任意向量a和b，|a||b|与a·b的大小关系是()A．|a||b|≤a·bB．|a||b|＞a·bC．|a||b|≥a·bD．|a||b|＜a·b3．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于()A．150°B．120°C．60°D．30°4．已知①a·0＝0；②0a＝0；③0－AB�＝BA�；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2＝b2.以上命题正确的是()A．①②③⑥⑦B．③④⑦C．②③④⑤D．③⑦5．(2012·黑龙江大庆期末)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：①AH�·(AC�－AB�)＝0；②AB�·BC�＜0⇒△ABC为钝角三角形；③AC�·AHAH��＝csinB；④BC�·(AC�－AB�)＝a2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．46．在△ABC中，12ACABAB��，32BCBABA��，则AB的长为__________．7．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB�－OC�|＝|OB�＋OC�－2OA�|，则△ABC的形状为__________．8．若四边形ABCD满足AB�＋CD�＝0，且AB�·BC�＝0，试判断四边形ABCD的形状．9．已知在△ABC中，AB�＝c，BC�＝a，AC�＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ.(1)试用m，n，θ表示S△ABC；(2)若c·b＜0，且S△ABC＝154，|c|＝3，|b|＝5，则〈c，b〉为多少？1参考答案1．答案：A2．答案：C3．解析：如图所示，∵|a|＝|b|＝|c|，∴△OAB是正三角形．∴〈a，b〉＝120°.答案：B4．解析：对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有a·0＝0，故①错误；对于②，应有0a＝0，故②错误；对于③，很明显正确；对于④，由数量积的定义，有|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a|·|b|，故④错误；对于⑤，若非零向量a，b垂直，则有a·b＝0，故⑤错误；对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，即a，b可以都是非零向量，故⑥错误；对于⑦，a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，故⑦正确．答案：D5．答案：C6．解析：由已知，得|AC�|cosA＝12，|BC�|cosB＝32.又∵|AB�|＝|AC�|cosA＋|BC�|cosB，∴AB＝2.答案：27．答案：直角三角形8．解：∵AB�＋CD�＝0，∴AB�＝DC�，即AB∥DC且AB＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AB�·BC�＝0，∴AB�⊥BC�，即AB⊥BC．∴四边形ABCD为矩形．9．解：(1)S△ABC＝12AB·AC·sin∠CAB＝12mnsinθ.(2)∵S△ABC＝154＝12|b||c|sinθ，∴154＝12×3×5sinθ，∴sinθ＝12.∵c·b＜0，∴θ为钝角，∴θ＝150°，即〈c，b〉＝150°.2
