课时作业(十八)对数函数及其性质的应用一、选择题1.若loga2<logb2<0,则下列结论正确的是()A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1【解析】利用函数的图象,在直线x=1右侧,当0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴,知B正确.【答案】B2.已知函数f(x)与函数g(x)=ex互为反函数,则()A.f(x)=lgx(x∈R)B.f(x)=lgx(x>0)C.f(x)=lnx(x∈R)D.f(x)=lnx(x>0)【解析】∵g(x)=ex的反函数为y=lnx(x>0),故只有D正确.【答案】D3.(2014·天津高考)设a=log2π,b=logπ,c=π-2,则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a【解析】因为π>2,所以a=log2π>1.因为π>1,所以b=logπ<0.因为π>1,所以0<π-2<1,即0<c<1.所以a>c>b.【答案】C4.已知f(x)=2+log3x,x∈,则f(x)的最小值为()A.-2B.-3C.-4D.0【解析】∵函数f(x)=2+log3x在上是增函数,∴当x=时,f(x)取最小值,最小值为f=2+log3=2+log33-4=2-4=-2.【答案】A1二、填空题5.比较大小log0.2π________log0.23.14(填“<”、“>”或“=”).【解析】∵y=log0.2x在定义域上为减函数,且π>3.14.∴log0.2π<log0.23.14.【答案】<6.函数y=lg(3x+1)的值域为________.【解析】∵3x+1>1,又y=lgx在(0,+∞)上为增函数,∴lg(3x+1)>lg1=0,∴函数y=lg(3x+1)的值域为(0,+∞).【答案】(0,+∞)7.已知log0.45(x+2)>log0.45(1-x),则实数x的取值范围是________.【解析】原不等式等价于解得-2<x<-.【答案】三、解答题8.求下列函数的值域(1)y=log2(x2-4x+6);(2)y=log2(x2-4x-5).【解】(1)令u=x2-4x+6,∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又f(x)=log2u在(0,+∞)上是增函数,∴log2(x2-4x+6)≥log22=1,∴函数的值域是.(2)∵x2-4x-5=(x-2)2-9≥-9,∴x2-4x-5能取到所有正实数,2∴函数y=log2(x2-4x-5)的值域是R.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,求满足f(x)>0的x的取值范围.【解】∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.设x<0,则-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-lg(-x),∴f(x)=由f(x)>0得或∴x>1或-1<x<0.1.设a=lge,b=(lge)2,c=lg,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a【解析】因为1<e<3,则1<<e<e2<10,所以0<lge<1.则lg=lge<lge,即c<a.因为0<lge<1,所以(lge)2<lge,即b<a.又c-b=lge-(lge)2=lge(1-2lge)=lgelg>0,所以c>b.故选B.3【答案】B2.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a等于()A.B.2C.2D.4【解析】∵a>1,∴f(x)=logax在上是增函数,故loga(2a)-logaa=loga2=,∴a=2,∴a=4.【答案】D3.已知loga(3a-1)恒为正数,则a的取值范围为________.【解析】loga(3a-1)>0可转化为loga(3a-1)>loga1.当0<a<1时,0<3a-1<1,解得<a<;当a>1时,3a-1>1,解得a>1.综合以上可得a的取值范围为∪(1,+∞).【答案】∪(1,+∞)4.已知函数y=(log2x-2),2≤x≤8.(1)令t=log2x,求y关于t的函数关系式,并写出t的范围;(2)求该函数的值域.【解】(1)y=(t-2)(t-1)=t2-t+1,又2≤x≤8,∴1=log22≤log2x≤log28=3,即1≤t≤3.(2)由(1)得y=-,1≤t≤3,当t=时,ymin=-;当t=3时,ymax=1.∴-≤y≤1,即函数的值域为.4