课时作业(十八)对数函数及其性质的应用一、选择题1．若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1【解析】利用函数的图象，在直线x＝1右侧，当0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴，知B正确．【答案】B2．已知函数f(x)与函数g(x)＝ex互为反函数，则()A．f(x)＝lgx(x∈R)B．f(x)＝lgx(x＞0)C．f(x)＝lnx(x∈R)D．f(x)＝lnx(x＞0)【解析】∵g(x)＝ex的反函数为y＝lnx(x＞0)，故只有D正确．【答案】D3．(2014·天津高考)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a【解析】因为π＞2，所以a＝log2π＞1.因为π＞1，所以b＝logπ＜0.因为π＞1，所以0＜π－2＜1，即0＜c＜1.所以a＞c＞b.【答案】C4．已知f(x)＝2＋log3x，x∈，则f(x)的最小值为()A．－2B．－3C．－4D．0【解析】∵函数f(x)＝2＋log3x在上是增函数，∴当x＝时，f(x)取最小值，最小值为f＝2＋log3＝2＋log33－4＝2－4＝－2.【答案】A1二、填空题5．比较大小log0.2π________log0.23.14(填“＜”、“＞”或“＝”)．【解析】∵y＝log0.2x在定义域上为减函数，且π＞3.14.∴log0.2π＜log0.23.14.【答案】＜6．函数y＝lg(3x＋1)的值域为________．【解析】∵3x＋1>1，又y＝lgx在(0，＋∞)上为增函数，∴lg(3x＋1)>lg1＝0，∴函数y＝lg(3x＋1)的值域为(0，＋∞)．【答案】(0，＋∞)7．已知log0.45(x＋2)＞log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．【解析】原不等式等价于解得－2＜x＜－.【答案】三、解答题8．求下列函数的值域(1)y＝log2(x2－4x＋6)；(2)y＝log2(x2－4x－5)．【解】(1)令u＝x2－4x＋6，∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1，∴函数的值域是.(2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，∴x2－4x－5能取到所有正实数，2∴函数y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，求满足f(x)＞0的x的取值范围．【解】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x＜0，则－x＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－lg(－x)，∴f(x)＝由f(x)＞0得或∴x＞1或－1＜x＜0.1．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a【解析】因为1＜e＜3，则1＜＜e＜e2＜10，所以0＜lge＜1.则lg＝lge＜lge，即c＜a.因为0＜lge＜1，所以(lge)2＜lge，即b＜a.又c－b＝lge－(lge)2＝lge(1－2lge)＝lgelg＞0，所以c＞b.故选B.3【答案】B2．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于()A.B．2C．2D．4【解析】∵a＞1，∴f(x)＝logax在上是增函数，故loga(2a)－logaa＝loga2＝，∴a＝2，∴a＝4.【答案】D3．已知loga(3a－1)恒为正数，则a的取值范围为________．【解析】loga(3a－1)＞0可转化为loga(3a－1)＞loga1.当0＜a＜1时，0＜3a－1＜1，解得＜a＜；当a＞1时，3a－1＞1，解得a＞1.综合以上可得a的取值范围为∪(1，＋∞)．【答案】∪(1，＋∞)4．已知函数y＝(log2x－2)，2≤x≤8.(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；(2)求该函数的值域．【解】(1)y＝(t－2)(t－1)＝t2－t＋1，又2≤x≤8，∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，即1≤t≤3.(2)由(1)得y＝－，1≤t≤3，当t＝时，ymin＝－；当t＝3时，ymax＝1.∴－≤y≤1，即函数的值域为.4
