2.2.3向量的数乘运算及其几何意义一、选择题1．【题文】下列运算正确的个数是（）①；②；③．A．B．C．D．2．【题文】已知，，，则等于()A．B．C．D．3．【题型】在△中，，，是的中点，则等于（）A.B.C.D.4．【题文】下面四种说法：①对于实数和向量，，恒有；②对于实数，和向量，恒有；③对于实数和向量，，若，则；④对于实数，n和向量，若，则．其中正确说法的个数是()A．B．3C．2D．15．【题文】如图，已知，用，表示，则等于()A．B．C．D.6．【题文】设，下面叙述不正确的是（）A．B．C．D．与的方向相同7．【题文】设与是两个不共线向量，，，，若、、三点共线，则的值为（）A．B．C．D．不存在8．【题文】如图,△中，、、分别是、、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是()A.B.C.D.二、填空题9．【题文】化简__________．10．【题文】已知，是不共线的向量，若，(，)，若，，三点共线，则________．11．【题文】若点是△的重心，则下列向量中与共线的是．（填写序号）（1）；（2）；（3）；（4）.三、解答题12．【题文】把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：（1），；（2），；（3），；（4），．13．【题文】两个不共线的向量、，若向量，，，问是否存在这样的实数、，使向量与向量共线？14.【题文】如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线．2.2.3向量的数乘运算及其几何意义参考答案及解析1.【答案】C【解析】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③，是零向量，而不是，∴该运算错误.∴运算正确的个数为．考点：向量数乘运算的定义.【题型】选择题【难度】较易2.【答案】B【解析】．考点：向量数乘运算的定义.【题型】选择题【难度】较易3.【答案】C【解析】，故选C.考点：向量的数乘运算.【题型】选择题【难度】较易4.【答案】C【解析】由向量的数乘运算律，得①②均正确．对于③，若，由，未必一定有，错误．对于④，若，由，未必一定有，错误．考点：向量数乘的运算律.【题型】选择题【难度】一般5.【答案】C【解析】，故选C．考点：共线定理及其应用.【题型】选择题【难度】一般6.【答案】D【解析】对于A，是正确的，满足数乘向量的结合律；对于B，是正确的，满足数乘向量的分配律；对于C，是正确的，满足数乘向量的分配律；对于D，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，∴D错，故选D.考点：向量数乘的运算律.【题型】选择题【难度】一般7.【答案】A【解析】因为、、三点共线，故存在一个实数，使得，又，，，∴，∴，∴解得．故选A．考点：共线定理及其应用.【题型】选择题【难度】一般8.【答案】B【解析】由题意可知为△的重心，由三角形重心的性质可知显然成立，故B错误.选项A，C，D都成立.考点：向量的数乘运算.【题型】选择题【难度】较难9.【答案】【解析】．考点：向量数乘的运算律.【题型】填空题【难度】较易10.【答案】1【解析】因为，，三点共线，所以，共线，所以存在实数使得，则，即，由于，不共线，所以，且，消掉得.考点：共线定理及其应用.【题型】填空题【难度】一般11.【答案】(3)【解析】对于（1），，与显然不共线；对于（2），，与不共线；对于（3），，与共线；对于（4），与不共线.故答案为（3）.考点：向量的共线定理.【题型】填空题【难度】一般12.【答案】略【解析】（1）∵，，∴.（2）∵，，∴.（3）∵，，∴.（4）∵，，∴．考点：向量数乘运算的定义.【题型】解答题【难度】较易13.【答案】略【解析】.要使与共线，则存在实数，使，即.∴解得.故存在这样的实数和，只要就能使与共线．考点：向量的共线定理.【题型】解答题【难度】一般14.【答案】略【解析】证明：∵，，，∴，①，②由①、②可知，即，又∵、有公共点，∴、、三点共线．考点：向量的共线定理.【题型】解答题【难度】一般
