作业(六)数列的递推公式A组基础巩固1．已知数列{an}，a1＝1，an＝2an－1－1(n>1，n∈N*)，则a99＝()A．1B．99C．－1D．－99解析：由a1＝1，an＝2an－1－1，得a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，∴a99＝1.答案：A2．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝2(n≥2)，则数列的通项an＝()A．2n＋1B．2nC．2n－1D．2(n－1)解析： an－an－1＝2，∴(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2＋2＋…＋2＝2(n－1)，∴an＝2n－1.答案：C3．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于()A．－B.C．－D.解析：由an＝(－1)n·2an－1及a1＝知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝.答案：B4．函数y＝f(x)的图象在下列图中并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，则该函数的图象是()ABCD解析：an＋1＝f(an)>an，故f(x)满足f(x)>x，即f(x)的图象在y＝x的图象上方，故A项正确．答案：A5．数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第三项是()A．1B.C.D.解析： a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝＋＝，故选C.答案：C6．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝，则a2012＝()A．－2B．－C．－D．3解析： a1＝－2，an＋1＝，∴a2＝－，a3＝，a4＝3，a5＝－2.∴该数列是周期数列，周期T＝4.又2012＝503×4，∴a2012＝a4＝3.答案：D7．已知数列{an}中，若a1＝1，a2＝2，anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，且an＋1an＋2≠1，则a1＋a2＋a3＝________.解析：由a1a2a3＝a1＋a2＋a3,2a3＝3＋a3，得a3＝3.∴a1＋a2＋a3＝1＋2＋3＝6.答案：68．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a3＝1，则m所有可能的取值为________．解析：(1)若a1＝m为偶数，a2＝，①当为偶数时，a3＝，故＝1⇒m＝4；②当为奇数时，a3＝＋1，由＋1＝1得m＝0(舍去)．(2)若a1＝m为奇数，则a2＝3a1＋1＝3m＋1为偶数，故a3＝必为偶数，所以＝1可得m＝(舍去)．答案：49．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.(1)写出数列{an}的前5项；(2)猜想数列{an}的通项公式；(3)画出数列{an}的图象．解：(1)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，a5＝×＝.(2)猜想：an＝.(3)图象如下图所示：110．已知数列{an}中，a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)．求数列的通项an.解：解法一：(累乘法) an＝n(an＋1－an)，即＝，∴＝，＝，＝，…，＝.以上各式两边分别相乘，得＝×××…×＝n.又a1＝1，∴an＝n.解法二：(逐商法)由＝知，＝，＝，＝，…，an＝a1····…··＝1××××…××＝n.B组能力提升11．已知数列满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20等于()A．0B．－C.D.解析：不妨先求出几项，观察数列是否有规律．注意数列的周期性．a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－＝a2，a6＝a3，…，an＋3＝an，∴a20＝a2＝－.答案：B12．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．解析：设OAn＝x(n≥3)，OB1＝y，∠O＝θ，记S△OA1B1＝×1×ysinθ＝S，那么S△OA2B2＝×2×2ysinθ＝4S，S△OA3B3＝4S＋(4S－S)＝7S，…，S△OAnBn＝x·xysinθ＝(3n－2)S，∴＝＝，∴＝，∴x＝.即an＝(n≥3)．经验证知an＝(n∈N*)．答案：an＝13．已知f(x)＝.各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2010＝a2012，则a20＋a11的值是________．解析：由an＋2＝f(an)＝及a1＝1，∴a3＝＝，a5＝＝＝，a7＝＝＝，a9＝＝＝，a11＝＝＝. a2012＝＝a2010，∴a＋a2010－1＝0. an>0，n∈N*，解上述方程得a2010＝.又a2010＝＝，解得a2008＝，∴a20＝，∴a20＋a11＝＋＝.答案：14．已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝.(a为常数)(1)若对任意的x1≠－1，有xn＋2＝xn对任意的n∈N*都成立，求a的值；(2)当a＝1时，若x1>0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由；(3)当a确定后，数列{xn}由其首项x1确定．当a＝2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题．(不必证明)解：(1) xn＋2＝＝＝＝xn，∴...
