1.4空间几何体的表面积与体积练习1.棱长都是1的三棱锥的表面积为().A.B.2C.3D.4【解析】因为四个面是全等的正三角形,所以S表面积=4S底面积=4×=.【答案】A2.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则体积为().A.32B.28C.24D.20【解析】上底面积S1=6××22=6,下底面积S2=6××42=24,体积V=(S1+S2+)·h=(6+24+)×2=28.【答案】B3.充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行,现有两飞艇,它们的半径之比为1∶2,那么它们的体积之比为.【解析】由于球的体积公式为V=πR3,所以体积比等于半径比的立方,所以体积比为1∶8.【答案】1∶84.把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积.【解析】如图所示,当BC为底面周长时,半径r1=,则体积V=π·AB=π()2×6=;当AB的底面周长时,半径r2==,则体积V=π·BC=π()2×3=.综上可知,圆柱的体积为或.5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为().A.B.C.D.【解析】设底面半径为r,侧面积为4π2r2,全面积为2πr2+4π2r2,其比为.【答案】A6.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为().A.B.C.D.1【解析】由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成),所有的棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为,故正八面体的体积V=2V正四棱锥=2××12×=.故选B.【答案】B7.把由曲线y=|x|和y=2围成的图形绕x轴旋转360°,所得旋转体的体积为.【解析】由题意可知所得旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥.∵V圆柱=π×22×4=16π,2V圆锥=2×π×22×2=,∴所求几何体的体积为16π-=.【答案】8.一试管的上部为圆柱形,底部为与圆柱底面半径相同的半球形.圆柱形部分的高为hcm,半径为rcm.试管的容量为108πcm3,半球部分容量为全试管容量的.(1)求r和h.(2)若将试管竖直放置,并注水至水面离管口4cm处,求水的体积.【解析】(1)依据题意:V圆柱+V半球=108π,V半球=×108π=18π,×r3=18π得r=3(cm),又V圆柱=90π=πr2h,解得h=10(cm).(2)V水=108π-π×32×4=72π(cm3).29.如图所示,三棱柱ABC-A'B'C'中,若E、F分别为AC、AB的中点,平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积),V2的两部分,那么V1∶V2=.【解析】设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E、F分别为AC、AB的中点,所以S△AEF=S,所以V1=h(S+S+)=Sh,V2=V-V1=Sh.所以V1∶V2=7∶5.【答案】7∶510.甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板,现要将甲裁剪焊接成一个四棱柱(底面为正方形),将乙裁剪焊接成一个四棱锥(底面为正方形,顶点在底面的射影在底面中心),使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面积).(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中,并作简要说明.(2)试比较你所制作的四棱柱与四棱锥体积的大小,并证明你的结论.【解析】(1)将正方形甲按图中虚线剪开,以两个正方形为底面,四个长方形为侧面,焊接成一个底面边长为2a,高为a的四棱柱.3将正方形乙按图中虚线剪开,以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面,三个等腰三角形为侧面,两个直角三角形合拼成为一个侧面,焊接成一个底面边长为2a,斜高为3a的四棱锥.(2)因为四棱柱的底面边长为2a,高为a,所以其体积V柱=(2a)2·a=4a3,又因为四棱锥的底面边长为2a,高为h==2a,所以其体积V锥=(2a)2·2a=a3,因为42-()2=16-=>0,即4>,所以4a3>a3,所以V柱>V锥,故所制作的四棱柱的体积比四棱锥的体积大.4
