第一章1.31.3.2第二课时习题课基础巩固一、选择题1．(2014·全国高考卷Ⅰ)设函数f(x)、g(x)定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)·g(x)|是奇函数[答案]C[解析]设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故A错，同理可知B、D错，C正确．2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是()A．f(x)＝x＋B．f(x)＝x2－C．f(x)＝D．f(x)＝x3[答案]D[解析] 对于A，f(－x)＝(－x)＋＝－(x＋)＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，∴A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．3．若f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A．f(－2)＞f(0)＞f(1)B．f(－2)＞f(1)＞f(0)C．f(1)＞f(0)＞f(－2)D．f(0)＞f(－2)＞f(1)[答案]B[解析]因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(－2)＞f(1)＞f(0)．故选B.4．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为()A．－5B．－1C．－3D．5[答案]B[解析]解法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，则F(x)为奇函数． x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，∴x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3.又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴F(－x)≤3⇔－F(x)≤3⇔F(x)≥－3.∴h(x)≥－3＋2＝－1，选B.5．函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)＞1，且f(3)＝4，则()A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2[答案]D[解析]设任意x1，x2∈R，x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1. x2－x1＞0，又已知当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在R上是增函数． f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2.6．(2015·胶州三中高一模块测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)[答案]D[解析]奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，＝<0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．二、填空题7．(2015·上海大学附中高一期末考试)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.[答案]－1[解析]f(x)＝(x＋1)(x＋a)为奇函数⇔g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.8．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______．[答案]f(x1)>f(x2)[解析] x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0， f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，又 f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．三、解答题9．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．[分析](1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．[解析](1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x14，∴只需使a4，∴x1x2(x1＋x2)>16，故a的取值范围是(－∞，16]．10．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(1)；(2)证明f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f()＝－1...
