第一章1.31.3.2第一课时函数的奇偶性基础巩固一、选择题1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有()A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)>0[答案]C[解析] f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=-[f(x)]2.又f(0)=0,∴-[f(x)]2≤0,故选C.2.下列函数是偶函数的是()A.y=2x2-3B.y=x3C.y=x2,x∈[0,1]D.y=x[答案]A[解析]对A项:f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x),∴f(x)是偶函数,B、D项都为奇函数,C项中定义域不关于原点对称,函数不具有奇偶性,故选A.3.下列说法正确的是()A.偶函数的图象一定与y轴相交B.奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.奇函数y=f(x)的图象一定过原点D.图象过原点的奇函数必是单调函数[答案]B[解析]A项中若定义域不含0,则图象与y轴不相交,C项中定义域不含0,则图象不过原点,D项中奇函数不一定单调,故选B.4.函数f(x)=-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称[答案]C[解析] f(x)=-x(x≠0),∴f(-x)=-+x=-f(x),∴f(x)为奇函数,所以f(x)=-x的图象关于原点对称,故选C.5.若函数f(x)=为奇函数,则a等于()A.B.C.D.1[答案]A[解析]方法一: f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴=-,即(2x-1)(x+a)=(2x+1)(x-a)恒成立,整理得(2a-1)x=0,∴必须有2a-1=0,∴a=,故选A.方法二:由于函数f(x)是奇函数,所以必有f(-1)=-f(1),即=-,即1+a=3(1-a),解得a=,故选A.6.若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx()A.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数又非偶函数[答案]A[解析] f(-x)=f(x),∴a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c对x∈R恒成立.∴b=0.∴g(x)=ax3+cx.∴g(-x)=-g(x).二、填空题7.(2015·广东深圳期末)设函数f(x)=若f(x)是奇函数,则g(2)的值是________.[答案]4[解析] f(x)是奇函数,∴g(2)=f(2)=-f(-2)=4.8.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=,则常数m、n的值分别为________.[答案]0、0[解析]由题意知f(0)=0,故得m=0.由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),即=-,∴x2-nx+1=x2+nx+1,∴n=0.三、解答题9.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式.[解析]f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数得,f(x)-g(x)=x2-x-2又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得:f(x)=x2-2,g(x)=x.10.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.(1)求证:f(0)=1.(2)判断函数的奇偶性.[解析](1)令x=y=0,2f(0)=2f(0)2,因f(0)≠0,则f(0)=1.(2)令x=0,有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),则f(-y)=f(y),∴f(x)是偶函数.能力提升一、选择题1.设f(x)是定义在R上的任意函数,则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数[答案]D[解析]由函数奇、偶性的定义知D项正确.2.若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则a的值为()A.-2B.-1C.1D.2[答案]C[解析] f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(1)=f(-1),∴2(1-a)=0,∴a=1,故选C.3.(2015·河北衡水中学期中)已知f(x)=x5-2ax3+3bx+2,且f(-2)=-3,则f(2)=()A.3B.5C.7D.-1[答案]C[解析]令g(x)=x5-2ax3+3bx,则g(x)为奇函数,∴f(x)=g(x)+2,f(-2)=g(-2)+2=-g(2)+2=3,∴g(2)=5,f(2)=g(2)+2=7.4.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是()A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数[答案]C[解析]令x1=x2=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+1,∴f(0)=-1.令x1=x,x2=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)+1,∴f(-x)+1=-f(x)-1,∴f(x)+1为奇函数.二、填空题5.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数:①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x中奇函数为________(填...