第一章1.31.3.2第一课时函数的奇偶性基础巩固一、选择题1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有()A．f(x)－f(－x)＞0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0D．f(x)·f(－x)＞0[答案]C[解析] f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2.又f(0)＝0，∴－[f(x)]2≤0，故选C.2．下列函数是偶函数的是()A．y＝2x2－3B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1]D．y＝x[答案]A[解析]对A项：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B、D项都为奇函数，C项中定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故选A.3．下列说法正确的是()A．偶函数的图象一定与y轴相交B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点D．图象过原点的奇函数必是单调函数[答案]B[解析]A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B.4．函数f(x)＝－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称[答案]C[解析] f(x)＝－x(x≠0)，∴f(－x)＝－＋x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，所以f(x)＝－x的图象关于原点对称，故选C.5．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于()A.B.C.D．1[答案]A[解析]方法一： f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴＝－，即(2x－1)(x＋a)＝(2x＋1)(x－a)恒成立，整理得(2a－1)x＝0，∴必须有2a－1＝0，∴a＝，故选A.方法二：由于函数f(x)是奇函数，所以必有f(－1)＝－f(1)，即＝－，即1＋a＝3(1－a)，解得a＝，故选A.6．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx()A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数又非偶函数[答案]A[解析] f(－x)＝f(x)，∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈R恒成立．∴b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝－g(x)．二、填空题7．(2015·广东深圳期末)设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．[答案]4[解析] f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4.8．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为________．[答案]0、0[解析]由题意知f(0)＝0，故得m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.三、解答题9．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．[解析]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：f(x)＝x2－2，g(x)＝x.10．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.(1)求证：f(0)＝1.(2)判断函数的奇偶性．[解析](1)令x＝y＝0,2f(0)＝2f(0)2，因f(0)≠0，则f(0)＝1.(2)令x＝0，有f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，则f(－y)＝f(y)，∴f(x)是偶函数．能力提升一、选择题1．设f(x)是定义在R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数[答案]D[解析]由函数奇、偶性的定义知D项正确．2．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a的值为()A．－2B．－1C．1D．2[答案]C[解析] f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)，∴2(1－a)＝0，∴a＝1，故选C.3．(2015·河北衡水中学期中)已知f(x)＝x5－2ax3＋3bx＋2，且f(－2)＝－3，则f(2)＝()A．3B．5C．7D．－1[答案]C[解析]令g(x)＝x5－2ax3＋3bx，则g(x)为奇函数，∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.4．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数[答案]C[解析]令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，∴f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1，∴f(－x)＋1＝－f(x)－1，∴f(x)＋1为奇函数．二、填空题5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填...
