活页作业(十一)函数的最大(小)值知识点及角度难易度及题号基础中档稍难函数图象与最值1函数单调性与最值5、6二次函数的最值2、4、98、1012分段函数的最值3、7111．设函数f(x)＝2x－1(x＜0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数解析：画出函数f(x)＝2x－1(x＜0)的图象，如图中实线部分所示．由图象可知，函数f(x)＝2x－1(x＜0)是增函数，无最大值及最小值．答案：C2．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为()A．42,12B．42，－C．12，－D．无最大值，最小值为－解析：∵f(x)＝2－，x∈(－5,5)，∴当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．答案：D3．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对解析：当－1≤x＜1时，6≤x＋7＜8，当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.答案：A4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．答案：C5．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．解析：易证函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，1∴ymin＝，ymax＝1，∴ymax－ymin＝1－＝.答案：6．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.解析：若a＜0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a＋1＝4，a＝3不满足a＜0；若a＞0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，a＝1满足a＞0，所以a＝1.答案：17．求函数f(x)＝的最值．解：函数f(x)的图象如图，由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1.无最大值．8．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：a＜－x2＋2x恒成立，则a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值为0，故a＜0.答案：C9．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________．解析：a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，则a2－4a＋6的下确界为2.答案：210．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)，若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值．解：∵f(x)开口向上，对称轴x＝a＞1，∴f(x)在[1，a]上是减函数，∴f(x)的最大值为f(1)＝6－2a，f(x)的最小值为f(a)＝5－a2，∴6－2a＝a,5－a2＝1，∴a＝2.11．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足为函数R(x)＝其中x是仪器的产量．(1)将利润f(x)表示为产量x的函数．(利润＝总收益－总成本)(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大；最大利润是多少元？解：由题意知2f(x)＝R(x)－100x－20000＝(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，即当x＝300时，f(x)有最大值25000，当x>400时，f(x)<20000.综上可知，当月产量为300台时，公司获得最大利润25000元．12．已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求a的取值范围．解：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立，即a>－(x2＋2x)在[1，＋∞)上恒成立．由于g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝－3，∴a>－3.1．求最大值、最小值时的三个关注点(1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标而不是横坐标．(2)单调性法求最值勿忘求定义域．(3)单调性法求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定要注意．2．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．3
