课时作业(八)分段函数及映射一、选择题1．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是()A．f：x→y＝x2B．f：x→y＝3x－2C．f：x→y＝－x＋4D．f：x→y＝4－x2【解析】当x∈[1，2]时，y＝4－x2∈[0，3]，故选项D中的“f”不能构成A到B的映射．【答案】D2．已知f(x)＝则f(3)为()A．2B．3C．4D．5【解析】∵3＜6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.【答案】A3．映射f：A→B，在f作用下A中元素(x，y)与B中元素(x－1，3－y)对应，则与B中元素(0，1)对应的A中元素是()A．(－1，2)B．(0，3)C．(1，2)D．(－1，3)【解析】由题意可知∴∴A中的元素为(1，2)．【答案】C4．设函数f(x)＝则f的值为()A.B．－C.D．18【解析】∵f(2)＝22＋2－2＝4，∴f＝f＝1－＝.1【答案】A二、填空题5．(2014·郑州高一检测)设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________．【解析】由f(2)＝3，得2a－1＝3∴a＝2，∴f(x)＝2x－1，∴f(3)＝5.【答案】56．(2014·镇江高一检测)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________．【解析】由题意知f(0)＝2，又f(2)＝22＋2a∴22＋2a＝4a∴a＝2.【答案】2图1237．已知函数f(x)的图象如右图123所示，则f(x)的解析式是________．【解析】由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x＜0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，则∴当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1.【答案】f(x)＝三、解答题8．a，b为实数，集合M＝，N＝{a，0}，f：x→2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x，求a＋b的值．【解】由题意知，集合M中的元素1只能对应集合N中的a，故a＝2，故N＝{2，0}，而M中的可能对应集合N中的2或0，当对2应2时，则＝1，则b＝2，此时M中有两个相同元素，不合适，故b＝2应舍去，当对应0时，则＝0，则b＝0，此时M＝{0，1}，符合题意，综上可知a＝2，b＝0，即a＋b＝2.9．已知函数f(x)＝(1)求a的值；(2)求f(f(2))的值；(3)若f(m)＝3，求m的值．【解】(1)由函数定义，得当x＝1时，应有1＋a＝12－2×1，即a＝－2.(2)由(1)，得f(x)＝因为2>1，所以f(2)＝22－2×2＝0，因为0<1，所以f(f(2))＝f(0)＝0－2＝－2.(3)当m≤1时，f(m)＝m－2，此时m－2＝3得m＝5，与m≤1矛盾，舍去；当m≥1时，f(m)＝m2－2m，此时m2－2m＝3得m＝－1或m＝3.又因为m≥1，所以m＝3.综上可知满足题意的m的值为3.1．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为()A．1B．0C．－1D．π【解析】g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0，故选B.3【答案】B2．集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射的个数是()A．4B．6C．8D．9【解析】∵f(3)＝3，∴只需A中的元素1，2都是B中的唯一元素与之对应，1的象可以为3，5中的一个，2的象也可以为3，5中的一个，故满足条件的映射的个数为2×2＝4.故选A.【答案】A3．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．【解析】当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a＜0，时，1－a＞1，1＋a＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.【答案】－4．如图124在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，图124沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.试求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．【解】(1)①当点P在线段BC上运动时，S△APB＝×4x＝2x(0≤x≤4)．②当点P在线段CD上运动时，S△APB＝×4×4＝8(4＜x≤8)．③当点P在线段AD上运动时，4S△APB＝×4×(12－x)＝24－2x(8＜x≤12)．∴y与x之间的函数关系式为y＝(2)画出y＝f(x)的图象，如图所示：5
