1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课堂探究探究一棱柱、棱锥、棱台的面积问题对于多面体，只有直棱柱，正棱锥和正棱台可直接用公式求侧面积，其余多面体的侧面积要把每个侧面积求出来再相加，求解时还要注意区分是求侧面积还是表面积．【典型例题1】如图所示，正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求该正四棱锥的侧面积和表面积．思路分析：根据多面体的侧面积公式，必须求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解．解：正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成一个Rt△POE．因为OE＝2cm，∠OPE＝30°，所以PE＝＝4(cm)．因此S正四棱锥侧＝ch′＝×4×4×4＝32(cm2)，S正四棱锥表＝S正四棱锥侧＋S正四棱锥底＝32＋4×4＝48(cm2)．点评解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解相应的元素，再代入面积公式求解．空间几何体的表面积运算，一般先转化为平面几何图形的运算，再充分利用平面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算．【典型例题2】已知正六棱台的两底面边长分别为1cm和2cm，高是1cm，求它的侧面积．解：如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成的一部分(其余部分省略)，则侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高，且OO1＝1cm，AB＝1cm，A1B1＝2cm，取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，则CC1为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．根据正六棱台的性质可得，OC＝AB＝(cm)，O1C1＝A1B1＝(cm)，所以CC1＝＝(cm)．又知上、下底面周长分别为c＝6AB＝6(cm)，c′＝6A1B1＝12(cm)，斜高h′＝CC1＝cm．所以正六棱台的侧面积为S正六棱台侧＝(c＋c′)h′＝×(6＋12)×＝(cm2)．点评求正棱台的侧面积同正棱锥类似，除了利用相对应的侧面积公式，也要利用正棱台中的核心直角梯形．探究二圆柱、圆锥、圆台的面积问题1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl，S圆台侧＝π(r1＋r2)l，如上图，当r1变化时，相应的图形也随之变化，当r1＝0，r2＝r时，相应的圆台就转化为圆锥，而当r1＝r2＝r时，相应的圆台就转化为圆柱，相应的侧面积公式也随之变化．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)lS圆锥侧＝πrl．2．对于圆锥还要明确如下结论：(1)圆锥的侧面展开图是扇形．(2)圆锥的底面周长⇔扇形的弧长．(3)圆锥的母线长⇔扇形的半径．(4)S扇形＝(其中n°为扇形圆心角的度数，r为扇形的半径)．【典型例题3】(1)圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为()A．12πB．24πC．15πD．30解析：作圆锥轴截面如图，高AD＝4，底面半径CD＝3，则母线AC＝5，得S侧＝π×3×5＝15π．答案：C(2)矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为()A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．1∶3解析：以边长1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以2所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，选B．答案：B探究三球的切接问题对球的表面积公式的考查，通常与球的性质结合在一起．与其他多面体和旋转体组合也是考查球的表面积的一种常见方式．常见的有关球的一些性质：(1)长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．(2)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．【典型例题4】(1)已知长方体的长、宽、高分别为2,3,6，则其外接球的表面积为()A．196πB．49πC．44πD．36π解析：长方体的体对角线长为＝7，所以其外接球的直径为2R＝7，即R＝，所以它的表面积为4πR2＝49π．故选B．答案：B(2)已知圆台内有一表面积为144πcm2的内切球，如果圆台的下底面与上底面半径之差为5cm，求圆台的表面积．解：其轴截面如图所示，设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，球半径为R，则r2－r1＝5，母线l＝r1＋r2．因为4πR2＝144π，所以R＝6．又l2＝(2R)2＋(r2－r1)2，所以(r1＋...
