1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积自我小测1．若正三棱锥的斜高是高的倍，则该棱锥的侧面积是底面积的()A．倍B．2倍C．倍D．3倍2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A．B．C．D．3．若两个球的表面积之差为48π，其大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为()A．4B．3C．2D．14．圆锥的中截面把圆锥的侧面分成两部分，这两部分侧面积的比为()A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．1∶45．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋B．30＋C．56＋D．60＋6．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是__________．7．一个几何体的三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体的表面积为__________．8．正四棱台的高是12cm，两底面边长相差10cm，表面积是512cm2，则两底面的边长分别是__________．9．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．10．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5，圆心角为216°的扇形，在这个圆锥中有一个高为x的内接圆柱．如图所示．则当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．参考答案1．答案：B2．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，所以S表＝2πr2＋(2πr)2＝2πr2(1＋2π)，S侧＝h2＝(2πr)2＝4π2r2．所以＝．答案：A3．解析：设两个球的半径分别为R，r(R>r)，则即所以R－r＝2．答案：C4．解析：如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为中截面与底面的圆心．因为O1为PO2的中点，所以＝＝＝．①因为S圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧＝π(O1A＋O2B)·AB，所以＝．由①得PA＝AB，O2B＝2O1A，所以＝＝．答案：C5．解析：根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为此几何体是底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S＝×(2＋3)×4＋×4×5＋×4×(2＋3)＋××＝30＋．答案：B6．解析：如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得解得r＝，所以底面积为πr2＝π×＝．答案：7．答案：5π8．解析：如图所示，设正四棱台的上底面边长A1B1＝acm，则下底面边长AB＝(a＋10)cm，高OO1＝12cm，所以斜高EE1＝＝＝13(cm)．所以a2＋(a＋10)2＋×4×(2a＋10)×13＝512．解得a＝2，则a＋10＝12，即下底面边长为12cm，上底面边长为2cm．答案：2cm,12cm9．解：设正方体的棱长为a．(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)所示，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝＝πa2．(2)球与正方体各棱的切点是每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)所示，所以有2r2＝，r2＝．所以S2＝＝2πa2．(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示，所以有2r3＝，r3＝，所以S3＝＝3πa2．10．解：画出组合体的轴截面并给相关点标上字母，如图所示，由于圆锥的侧面展开图是一个半径为5，圆心角为216°的扇形，设OC＝R，则2πR＝2π×5×，解得R＝3．所以AO＝＝4．再设OF＝r，又O′O＝x，则由相似比得＝，即r＝3－，所以S圆柱侧＝2π·x＝－π(x－2)2＋6π，因为0＜x＜4，所以当x＝2时，(S圆柱侧)最大＝6π．因此当x为2时，圆柱的侧面积最大，最大值为6π．
