1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球自主广场我夯基我达标1.平行六面体的两个对角面都是矩形,且底面又是正方形,则此平行六面体一定是（）A.直平行六面体B.正四棱柱C.长方体D.正方体思路解析:根据两个对角面是矩形可知侧棱和底面垂直,所以首先是直四棱柱,再根据底面是正方形可知是正四棱柱.答案：B2.下列判断正确的是（）A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形思路解析:根据圆锥与圆台的定义和图形进行判断即可.答案：C3.如图1-1-（2，3）-8,正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是（）A.2B.C.D.思路解析:取AC的中点G，连结EG，FG，则易得FG=2，EG=1，故EF=.答案：C图1-1-(2,3)-8图1-1-(2,3)-94.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是______________.思路解析:5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R.答案：3R5.如图1-1-（2，3）-10，圆锥底面半径是6,轴截面顶角是直角,过两条母线的截面SCB截去底面圆周的,求截面面积.图1-1-(2,3)-10思路分析:截面问题的图形一般较为复杂、难读,要正确识图,寻找各量之间的关系.解：由题知,轴截面顶角∠ASB=90°,OA=6,图1-1-(2,3)-11∴SA=SB=SC=.连结OB、OC， 弧BC的长为底面圆周长的，∴∠BOC=×360°=60°.∴OB=OC=BC=6.∴SD=.∴S△SCB=×6×=9.6.如图1-1-(2,3)-12,圆锥和一个球面相交，球心在圆锥的顶点，球半径等于圆锥的高，若圆锥的侧面被球与圆锥的交线所平分，求圆锥的高与母线间夹角α的大小.图1-1-(2,3)-12思路分析:可以根据圆锥和球的对称性,画出对应的轴截面图,分析计算出圆的侧面和相交部分的关系.解：由题图知△VAB是轴截面，设VB交⊙V于C，作CD⊥VO于D，记VO=h,由已知∠AVO=α=∠BVO, VO=h=VBcosα,∴VB=.又BO=htanα,CD=VCsinα=VOsinα=hsinα,根据题意，小圆锥侧面积是大圆锥侧面积的一半，可列出方程π·CD·VC=π·BO·VB,即hsinα·h=htanα·,化简可得cos2α=,即cosα=±.根据实际情况,cosα=,所以α=45°.我综合我发展7.已知圆锥的母线长为l，底面半径为R，如果过圆锥顶点的截面面积的最大值是，则（）A.≤B.=C.≥D.<思路解析:因为=sin90°,所以圆锥轴截面顶角大于等于90°,据此求解即可.答案：C8.长方体一个顶点上三条棱的长分别为a、b、c(a,b,c两两不等)，一条对角线为AB，长方体的表面上A、B两点间的最短路程为，则a、b、c的大小关系是___________.思路解析:求在长方体表面上从A到B的最短路途，由于长方体的对称性，可从以下三种实现方式（如图1-1-(2,3)-13）中比较获得：图1-1-(2,3)-13(1)AB1′=;(2)AB2′=;(3)AB3′=.由已知最短路程为第(2)种情况下获得：∴AB1′>AB2′且AB3′>AB2′.而AB1′与AB3′大小关系不定，∴可知a、b、c的关系为2ac>2bc且2ab>2bc，2bc与2ab不定，即a>b且a>c，b、c关系不定.答案：a>b且a>c,b、c关系不定9.如图1-1-(2,3)-14,过球O的表面上一点A,引三条长度相等的弦AB、AC、AD,且两两夹角都是2α.若球的半径为R,求弦AB的长.图1-1-(2,3)-14思路分析:由于AB=AC=AD，B、C、D也在球面上，过B、C、D可有一圆面.因为三弦两两夹角均为2α，故BC=CD=DB，△BCD为正三角形，A—BCD形成一个正三棱锥，△BCD的中心O1也是底面BCD所在圆的圆心，且OO1⊥平面BCD.求AB弦长，即为求三棱锥的侧棱长，从球转化到棱锥，即可找到解题办法.解：连结BC、CD、BD，作球的直径AOE，连结BE.设AE与截面BCD的交点为O1，连结BO1，则∠ABE=90°.BC=CD=BD,图1-1-(2,3)-15从而可得O1是正△BCD的中心，AO⊥平面BCD.设AB=x，AO1=h,则BC=2xsinαBO1=××2xsinα=x·sinα.在Rt△AO1B中, AO12=AB2-O1B2,∴h2=x2-（xsinα）2.又由直角三角形射影定理，得x2=2R·h→h2=,∴=x2-(xsinα)2,x2=R2(3-4sin2α),x=R,即弦AB的长为R.10.图1-1-(2,3)-16中的...
