1.1.7柱、锥、台和球的体积自我小测1．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为()A．1∶3∶4B．1∶3∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶22．正方体的内切球的体积为36π，则此正方体的表面积是()A．216B．72C．108D．6483．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋B．4π＋C．2π＋D．4π＋4．一个圆台的轴截面(等腰梯形)的腰长为a，下底长为2a，对角线长为，则这个圆台的体积是()A．B．C．D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．186．如图，在三棱台ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为()A．1∶1∶1B．1∶1∶2C．1∶2∶4D．1∶4∶47．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________．8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．9．如图①，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的几何体．当这个几何体如图②水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图③水平放置时，液面高度为28cm，则这个几何体的总高度为__________cm．10．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，求圆台的体积．11．已知某几何体的俯视图是矩形(如图所示)，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S．12．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积．参考答案1．解析：设球的半径为R，则V圆锥＝πR2(2R)＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V球＝πR3．所以V锥∶V柱∶V球＝∶2∶＝1∶3∶2．答案：B2．答案：A3．解析：该空间几何体为正四棱锥和圆柱的组合体．如图所示．由题意知，圆柱的底面半径为1，高为2．正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，高为＝．所以V＝π×12×2＋×()2×＝2π＋．答案：C4．解析：如图，由AD＝a，AB＝2a，BD＝，知∠ADB＝90°．取DC中点E，AB中点F，分别过点D、点C作DH⊥AB，CG⊥AB，知DH＝．所以HB＝＝．所以DE＝HF＝．所以V圆台＝＝．答案：D5．解析：由三视图可推知，几何体的直观图如下图所示，可知AB＝6，CD＝3，PC＝3，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求几何体的体积为××3＝9．答案：B6．解析：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S，所以VA1ABC＝S△ABC·h＝Sh，VCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh．又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，所以VBA1B1C＝V台－VA1ABC－VCA1B1C1＝Sh－Sh－Sh＝Sh．所以所求体积之比为1∶2∶4．答案：C7．解析：该几何体为底面是直角梯形的四棱柱，V＝×1＝3．答案：38．解析：由几何体的三视图可知该几何体是一个底面是正方形的四棱锥，其底面边长为3，且该四棱锥的高是1，故其体积为V＝×9×1＝3．答案：39．解析：设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm，则由题意知π·32·h2＋π·12·(20－h2)＝π·12·h1＋π·32·(28－h1)，整理得8π(h1＋h2)＝232π，所以h1＋h2＝29．答案：2910．分析：计算台体的体积时，需要计算其底面的面积和高．若是圆台，则要计算其上、下底面圆的半径，可根据条件建立相关的关系式求解．解：如图所示为圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆半径及高分别为x,4x,4x，则在△ABC中，AC＝4x，BC＝4x－x＝3x，AB＝10，由于AB2＝AC2＋BC2，所以16x2＋9x2＝25x2＝100．所以x＝2．从而可知圆台的上、下底面圆半径及高分别为2,8,8．所以V圆台＝(4＋16＋64)＝224π．11．解：由三视图特点可知，该几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是边长分别为6和8的矩形．如图，设底面矩形为ABCD，则AB＝8，BC＝6，高VO＝4．(1)V＝×(8×6)×4＝64．(2)四棱锥侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形．在△VBC中，BC边上的高h1＝＝＝，在△VAB中，AB边上的高h2＝＝＝5．所以此几何体的侧面积S＝＝40＋．12．解：如图所示，过点A，B分别作AM，BG垂直于EF，垂足分别为点M，G，连接DM，CG，这样就将多面体分为两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱．由图形的对称性，知EM＝GF＝．在Rt△AME中，可求得AM＝．在等腰三角形AMD中，可求得S△AMD＝．所以V多面体＝2V三棱锥EADM＋V三棱柱ADMBCG＝·EM·S△AMD＋AB·S△AMD＝＝．
