高一数学集合之间的关系与运算【本讲主要内容】集合之间的关系与运算子集、全集、补集、交集、并集等概念，集合的运算性质。【知识掌握】【知识点精析】1.（1）子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。记作：，AB或BA当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AB或BA注：有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B。（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集。记作：AB或BA，读作A真包含于B或B真包含A。注：空集是任何集合的子集。ΦA空集是任何非空集合的真子集。ΦA若A≠Φ，则ΦA任何一个集合是它本身的子集。易混符号①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如ΦR，{1}{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。如Φ{0}。不能写成Φ＝{0}，Φ∈{0}2.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。3.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即CSA＝4.交集：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集。记作AB（读作“A交B”），即AB＝｛x|xA，且xB｝。5.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集。记作：AB（读作“A并B”）6.交集、并集的性质：（1）AA＝AAΦ＝Φ，AB＝BAABA，ABB用心爱心专心（2）AA＝AAΦ＝AAB＝BAABＡ，ABB7.德摩根律：(CuA)(CuB)＝Cu(AB)(CuA)(CuB)＝Cu(AB)8.容斥原理：一般地，把有限集A的元素个数记作card(A)。对于两个有限集A，B，有card(A∪B)＝card(A)+card(B)－card(A∩B)。【解题方法指导】例1.（1）写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。（2）判断下列写法是否正确①ΦA②ΦA③④AA解：（1）NZQR（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误例2.已知集合A、B是全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，A∩B＝{2}，(CUA)∩(CUB)＝{1，9}，(CUA)∩B＝{4，6，8}，求A、B。分析：作出文氏图，利用数形结合法求解本题。解：由图可得A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}。例3.已知A＝{x|x2－ax+a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x+8＝2}，C＝{x|x2+2x－8＝0}。若A∩B，且A∩C＝，求a的值。解： B＝{x|(x－3)(x－2)＝0}＝{3，2}，C＝{x|(x+4)(x－2)＝0}＝{－4，2}，又 A∩B，∴A∩B≠。又 A∩C＝，∴可知－4A，2A，3∈A。∴由9－3a+a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2。①当a＝5时，A＝{2，3}，此时A∩C＝{2}≠，矛盾，∴a≠5；②当a＝－2时，A＝{－5，3}，此时A∩C＝，用心爱心专心A∩B＝{3}≠，符合条件。综上①②知a＝－2。评注：求出a值后要注意代回题中检验，否则可能会出现错误的结果。例4.解关于x的不等式x2－(a+)x+1＜0(a≠0)。分析：解含字母参数的不等式，要注意对字母参数进行合理的分类讨论，既不能遗漏，也不能重复。解：原不等式化为(x－a)(x－)＜0，∴相应方程的根为a、。当a＞，即－1＜a＜0或a＞1时，解集为{x|＜x＜a}。当a＝，即a＝±1时，解集为。当a＜，即0＜a＜1或a＜－1时，解集为{x|a＜x＜}。综上，当－1＜a＜0或a＞1时，解集为{x|＜x＜a};当a＝±1时，解集为；当0＜a＜1或a＜－1时，解集是{x|＜x＜a}。评注：解含字母参数的不等式时，要弄清为何要分类讨论、分类讨论的标准是什么、如何分类讨论三个问题。【考点突破】【考点指要】重点考查集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用文氏图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。另外，以集合语言与集合思想为载体，考查函数的定义域、函数的值域...
