高一数学解三角形知识精讲 苏教版VIP免费

高一数学解三角形知识精讲一.本周教学内容：解三角形二.本周教学目标：1、掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。3、初步运用正弦定理、余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。［知识要点］一、正弦定理1、探索任意三角形的边角关系（1）直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1即c=，c=，c=∴==上述结论，对任意三角形也成立。正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即===2R（R为△ABC外接圆半径）证法1：不妨设∠C为最大角（1）若∠C为直角，已证（2）若∠C为锐角，过点A作ADBC于D，此时有，，所以，即同理可得=所以==（3）若∠C为钝角，过点A作ADBC于D，交BC的延长线于D，此时也有用心爱心专心115号编辑1，且∠ACB=（－∠ACB）=仿（2）可得==由（1）（2）（3）知，结论成立。证法2：（向量法）过A作单位向量垂直于由+=两边同乘以单位向量得•（+）=•则•+•=•∴||•||cos90+||•||cos（90C）=||•||cos（90A）∴∴=同理，若过C作垂直于得：=∴==二、余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即[推导]：如图在中，、、的长分别为、、。用心爱心专心115号编辑2∵∴即同理可证，余弦定理也可以写成如下形式：【典型例题】例1.已知在解：∴由得由得例2.解：或或，例3.已知△ABC，BD为B的平分线，求证：AB∶BC＝AD∶DC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可用心爱心专心115号编辑3利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论。证明：在△ABD内，利用正弦定理得：在△BCD内，利用正弦定理得：∵BD是B的平分线∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴∴评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用。例4.在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C。解：∵＝0.725，∴A≈44°∵＝0.8071，∴C≈36°∴B＝180°－（A＋C）≈100°例5.在ΔABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形解：由，得c≈4.297∵≈0.7767，∴A≈39°2′∴B＝180°－（A＋C）＝58°30′【模拟试题】1.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形2.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值。4.ΔABC三个顶点坐标为（6，5）、（－2，8）、（4，1），求A奎屯王新敞新疆5.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB。用心爱心专心115号编辑46.在△ABC中，已知，，B=45求A、C及c。用心爱心专心115号编辑5[参考答案]http://www.DearEDU.com1.D2.A3.解：∵（这是角的关系）∴（这是边的关系）于是，由合比定理得4.解：∵|AB|＝|BC|＝|AC|＝=∴A≈84°5.解：在△ADC中，cosC＝又0＜C＜180°，∴sinC＝在△ABC中，∴AB＝6.解一：由正弦定理得：∵B=45<90即b