高一数学第十三、十四讲等差、等比数列性质及应用一、知识归纳：(一)等差数列的性质(1)am=an+(m-n)d,d=(2)等差数列中，若p+q=m+n，则ap+aq=am+an，若2m=p+q，则2am=ap+aq(3)若{an},{bn}均为等差数列，且公差分别为d1,d2，则数列{pan},{an+q},{an±bn}也为等差数列，且公差分别为pd1,d1,d1±d2(4)在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,…,为等差数列，公差为md。(5)等差数列前n项和构成一个等差数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…为等差数列，公差为n2d。(6)若等差数列的项数为2n，则有。(7)等差数列的项数为奇数n，则，。(8){an}为等差数列，S2n-1=(2n-1)an。(9)通项公式是an=An+B(A≠0)是一次函数的形式；前n项和公式Sn=An2+Bn(A≠0)是不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，Sn=na1,an=a1）(10)若a1>0，d<0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n。若a1<0，d>0，Sn有最小值，可由不等式组来确定n。（二）等比数列的性质(1)am=an·qm-n(2)等比数列中，若p+q=m+n，则ap·aq=am·an，若2m=p+q，则am2=ap·aq(3)若{an},{bn}均为等比数列，且公比分别为q1,q2，则数列{pan},{},{an·bn},,{|an|}也为等比数列，且公比分别为pq1,,d1·d2,,|q1|(4)在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+m,an+2m,…,为等比数列，公比为qm。(5)等比数列前n项和构成一个等比数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…为等比数列，公比为qn。二、主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键．三、例题讲解：用心爱心专心115号编辑1例1、（1）设是等差数列，且，求及S15值。（2）等比数列中，，，前n项和Sn=126，求n和公比q。（3）等比数列中，q=2，S99=77，求a3+a6+…+a99；（4）项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。解：（1）由已知可得，所以=2，S15=，所以或又,所以或评注：分解重组，引导发现（）、（）与（）的关系，从而使问题获得简单的解法。设等差数列共2n-1项,则所以此数列共31项.中间项评注：（1）在项数为项的等差数列中，；（2）在项数为项的等差数列中．变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13项；（2）已知数列是等比数列,且,,，则9．（3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是210．(4)等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.。（=）用心爱心专心115号编辑2例2、设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，（1）求公差d的取值范围。（2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。解：（1），，即，由,代入得：。（2）解一：由，可知，所以S6最大。解二：，由可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S6最大。解三：，由得。又抛物线开口向下，所以S6最大。评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）变式：(1)已知等差数列{an}中，，问S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大。(2)数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和．略解：（1）由题得，∴，∴是首项为3，公差为的AP。∴，∴由，得，∴数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，，当时，，∴当时，当时，用心爱心专心115号编辑3∴．例3、(1)由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式．解：当时，得不成立，∴，∴由①得，代入②得，∴．说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．(2)若数列成等差数列，且，求．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设，则得：，，∴，∴．评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征。变式：设...
