向量的坐标运算一、基本知识：1．理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应．2．掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题．3．掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行（共线）的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别．二、例题分析：例1已知a=（1，2），b=（－3，2），当k为何值时，ka+b与a－3b平行？解由已知a=（1，2），b=（－3，2），得a－3b=（10，－4），ka＋b=（k－3，2k＋2）．因（ka＋b）∥（a－3b），故10（2k＋2）＋4（k－3）=0．得k=－．点评坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标；其纵坐标之和即为和向量的纵坐标．实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积．例2、知向量a=（，），b=（－1，2），c=（2，－4）．求向量d，使2a，－b＋c及4（c－a）与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链．简解设向量d的坐标为（x，y），由2a＋（－b＋c）＋4（c－a）＋d=0，可解得d=（－9，23）．点评数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到．例3已知平面上三点P（2，1），Q（3，－1），R（－1，3）．若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标．分析平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标．但由于题设四点构成四边用心爱心专心形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论．简解设S的坐标为（x，y）．（1）当PQ与RS是一组对边时，若PQ=RS，则（3，－1）－（2，1）=（x＋1，y－3），即（1，－2）=（x＋1，y－3），得S点坐标为（0，1）．若PQ=SR，则S点坐标为（－2，5）．（2）当PR与SQ是一组对边时，若PR=SQ，则S点的坐标为（6，－3）．若PR=QS，则S点的坐标为（0，1）．（3）当PS与RQ是一组对边时，若PS=RQ，则S点的坐标为（6，－3）．若PS=QR，则S点的坐标为（－2，5）．综上所述，S点坐标可以为（0，1），（6，－3），（－2，5）．例4向量PA=（k，12），PB=（4，5），PC=（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线．分析三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB=λBC，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算．解AB=PB－PA=（4－k，－7），BC=PC－PB=（6，k－5）．当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB=λBC，将坐标代入，得4－k=6λ，且－7=λ（k－5），故（4－k）（k－5）=－42．解得k=11，或k=－2．点评向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题．只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择．变题求证：互不重合的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线的充要条件是（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1）．证明必要性（略）．用心爱心专心充分性若（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1），由A、B、C互不重合，得（x2－x1）、（y3－y1）、（x3－x1）、（y2－y1）中至少有一个不为零，不妨设x3－x1≠0．令x2－x1=λ（x3－x1），若λ=0，则x2－x1=0，此时y2≠y1（否则A、B重合）．而已知等式不成立，故λ≠0．于是（x3－x1）（y2－y1）=λ（x3－x1）（y3－y1）．因x3－x1≠0，故（y2－y1）=λ（y3－y1）．于是（x2－x1，y2－y1）=λ（x3－x1，y3－y1），即AB=λAC，且AC≠0．又因AB与AC有相同起点，所以A、B、C三点共线．三、训练反馈：1．已知a=（－1，2），b=（1，－2），则a＋b与a－b的坐标分别为（A）A．（0，0），（－2，4）B．（0，0），（2，－4）C．（－2，4），（2，－4）D．（1，－1），（－3，3）2．若向量a=（x－2，3），与向量b=（1，y＋2）相等，则（B）A.x=I，y=3，B．x=3，y=1C．x=1，y=－5D．x=5，y=－13．若a=（2，3），b=（4，y－1），且a∥b，则y=（C）A．6B．5C．7D．84．已知点B的坐标为（m，n），AB的坐标为（i，j），则点A的坐标为（A）A．（m－i，n－j）B．（i－m，j－n）C．（m＋i，n＋j）D．...
