高一数学函数与方程【本讲主要内容】函数与方程方程的根与函数的零点；二分法的定义；用二分法求零点的近似值的步骤【知识掌握】【知识点精析】1.方程的根与函数的零点：（1）零点；（2）根与零点。（1）方程的根与函数的零点：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。（2）零点判断法：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（a，b）内有零点，即存在（a，b），使得。这个c也就是方程的根。2.二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）。3.用二分法求零点的近似值的步骤：第1步：确定区间[a，b]，验证，给定精确度；第2步：求区间（a，b）的中点；第3步：计算；（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令[此时零点]；（3）若，则令[此时零点]；第4步：判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复（2）～（4）。【解题方法指导】例1.判断下列函数是否有零点，若有，有几个零点？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）用心爱心专心解析：判断函数的零点，可以从两个方面进行，一是看方程的实根的个数，二是看的图象与轴的公共点的个数。（1）①当时，=1，无零点；②当时，有一个零点。（2）令，方程无实数根，∴此函数没有零点。（3）令，故此函数有一个二重零点。（4）令，故此函数有四个零点：（二重）1。（5）令，∴。故此函数只有一个零点。点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点。例2.若函数有唯一零点，求实数的取值范围。解析：由题意知方程有惟一实根。方程等价于即令，（1）若与轴相切，有，即。将代入②式有不满足①式∴（2）如下图所示，若与轴相交，注意到抛物线的对称轴，故交点的横坐标有且仅有一个满足①式的充要条件为，∴当时，函数值有惟一零点。点评：（1）对于函数图象性质的研究，一方面要注意特殊点，如本题中有对称轴为，用心爱心专心得出与轴有且仅有一个交点满足①式的充要条件为而不是或，二是要根据题意，画出示意图，再根据图象特征解决问题。（2）研究二次函数在给定区间上的零点时，可从判别式、对称轴、开口方向、区间端点函数值的符号等几个方面去考虑。例3.借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到0.1）。解析：原方程即，令，用计算器或计算机作出函数的对应值表与图象。x012345678－6－2310214075142273观察图和表可知，说明在区间（1，2）内有零点。取区间（1，2）的中点，用计算器可得 所以。再取（1，1.5）的中点，用计算器可得。因此，所以。同理可得，。由，此时区间（1.375，1.4375）的两个端点，精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。用心爱心专心例4.某电器公司生产A种型号的家庭电脑，1996年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价，1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益。（1）求2000年每台电脑的生产成本。（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996—2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）。解析：（1）设2000年每台电脑的成本为元，根据题意得。解得元。（2）设1996—2000年间每年平均生产成本降低的百分率为，根据题意得：令，作出的对应值表。00.150.30.451800—590—2000—27420.60.750.91.05—3072—3180—3200—3200由上表可知，说明函数在区间（0，0.15）内有零点，取区间（0，0.15）的中点用计算器可得，则有所以再取（0.075，0.15）的中点。用计算器可得，同样可得，所以。同理，。。由于，此区间的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以方程精确到0.01的近似值为0.11。【考点突破】【考点指要】本部分知识是高中新内容，高考中有求方程近似根的题目，多为填空题或解答题，分值4～6分。【典型例题分析】例1.（05年上海...
