《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第17页共13页第三章多维随机变量及其概率分布【内容提要】一、二维随机变量及其分布函数【定义】设是定义于随机试验的样本空间上的两个随机变量，则称为二维随机变量，称为其联合分布函数，而称:及分别为的边缘分布函数。二维随机变量的联合分布函数具有如下性质:⑴．非负性:，有；⑵．规范性:，有；⑶．单调性:当固定不变时，是的单增函数；⑷．右连续性:，有；⑸．相容性:，有；⑹．特殊概率:若，则。二、二维离散型随机变量1．二维离散型随机变量及其概率分布律若二维随机变量的一切可能取值为离散值，其中，且取到这些值的概率满足，则称为二维离散型随机变量，而称为其联合概率分布律，记为:。⑴.的边缘概率分布律:；⑵.的条件概率分布律:；⑶.的相互独立。二维离散型随机变量的联合分布律及其边缘分布律也可用下表来表示:17《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第18页共13页设为平面区域，则二维离散型随机变量的联合分布函数及其取值落在内的概率为:，。2．常用二维离散型分布⑴．三项式分布:设为自然数，为常数，则三项式分布的联合分布律为：，其中，而其边缘分布律、条件分布律为：，，，其中，，其中。⑵．二维超几何分布:设为自然数，则二维超几何分布的联合分布律为：，其中；而其边缘分布律、条件分布律为：，，18《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第19页共13页，。⑶．二维分布:设为常数，则二维分布的联合分布律为:,而其边缘分布律、条件分布律为：，，，其中，。三、二维连续型随机变量1．二维连续型随机变量及其概率密度函数若二维随机变量的一切可能取值充满了某一平面区域，且存在一个函数，使其联合分布函数可表为，且，则称为二维连续型随机变量，而称为其联合密度函数，记为。设为平面区域，则二维连续型随机变量的联合分布函数、联合密度函数满足：，而的取值落在内的概率为。2．常用二维连续型分布⑴．均匀:，其中平面区域的面积；19《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第20页共13页⑵．二维指数分布:二维指数分布的联合分布为:，，其中为常数，而其边缘分布及条件分布为:，，，。⑶．二维分布:其联合密度、边缘密度及条件密度分别为(其中均为常数),，，，20《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第21页共13页。⑷．二维正态分布:二维正态分布的联合密度为:，其中，而其边缘分布及条件分布为:，即，，即，，即。四、二维随机变量函数的分布设为二维随机变量，而为连续的确定型函数。1．若为离散型随机变量，且，则的分布律为:；⑵．若为连续型随机变量，且，则的概率密度函数为:；⑶．若连续型随机变量独立，且具有相同的分布函数为，将按其取值由小到大的顺序重新排为，称为的顺序统计量，则第个顺序统计量的分布函数为(其中为的密度，):，特别：21《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量及其概率分布第22页共13页。五、维随机变量及其分布【定义】设是定义于随机试验的样本空间上的个随机变量，则称为维随机变量，而称为其联合概率分布函数；维随机变量也可分离散型与连续型，也有边缘分布、条件分布等概念。常用维随机变量的分布有:1．维多项式分布:设为自然数，为常数，则维多项式分布的联合分布律为(其中为整数)：，其边缘分布律、条件分布律仍为多项式分布。2．维超几何分布:设为自然数，则维超几何分布的联合分布律为(其中为整数)：，其边缘分布律、条件分布律仍为超几何分布。3．维均匀分布:设为维空间区域，且其体积，则内维均匀分布的联合密度为(其中为整数)：。4．维正态分布:设为维常向量，为正定矩阵，为的行列式，维正态随机变量在处的联合密度为：，正态随机变量的边缘分布、条件分布及其线性变换仍服从正态分布，且相互独立为对角阵。【第三章作业】1、现有10件产品，其中6件为正品，4件为次品，从中随机抽取两次产品，每次取一件，令，22《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第三章多维随机变量...
