二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程根的分布情况设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0两个正根即两根都大于 0一正根一负根即一个根小于0，一个大于 0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与 的大小比较）分布情况两根都小于 即两根都大于 即一个根小于 ，一个大于 即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）——————根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值
如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数
如方程有且一根在区间内，求的取值范围
分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或根的分布练习题例 1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围
解：由 即 ，从而得即为所求的范围
例 2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围
解：由 或即
