二面角的求法VIP免费

从一条直线出发的两个半一、二面角的定义αβι平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。二面角二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内注意：二面角的范围：[0,]lOAB二、二面角平面角的定义在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA、OB则∠AOB叫做二面角的平面角。二面角1、传统法ιpαβABpαβιABOABαβιp①定义法②三垂线定理法③垂面法三、二面角的求法传统法求二面角步骤：二面角的平面角的作法：二面角作图证明计算l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中l,,,ABlABCDlCD�coscos,ABCDABCDABCD���DCBA①方向向量法：2、向量法求二面角二面角ll②法向量法1n�1n�2n�2n�12nn�，12nn�，12nn�，12nn�，cos12cos,�nncos12cos,�nn二面角注意：注意：求出了两法向量的夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小。法向量法求二面角的步骤：1.建立适当空间直角坐标系，写出相关点的坐标2.求出二面角两个半平面的法向量3.求出两个法向量的夹角4.判断二面角的平面角与两个法向量夹角的关系，是相等还是互补例1.如图，已知正四面体A-BCD（各条棱都相等）求二面角C-AB-D的余弦值大小ABCＤ解：ABMCMDM取的中点点连接、ABCABDMABCMABDMAB、是等边三角形，点是的中点、CMDCABD是二面角－的平面角a设正四面体的棱长为3CMDMCD2aa，222CD-CD1cosCD2CMDM313MM由余弦定理得：M=，即二面角的余弦值为。MOABPC过O点作OE⊥AB于E点，连PEO为AC中点，∠ABC=90º2221在Rt△POE中，OE，PO22tanPEO∴22∴所求的二面角P-AB-C的正切值为例2．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。2由三垂线定理可知AB⊥PE∴∠PEO就是二面角P-AB-C的平面角23在Rt△PBE中，BE，PB=1，PE21E解：EOP二面角∴OE∥BC且OEBC=2122C1BACA1B1Ｄ例3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a，D为CC1中点，求：平面A1BD与平面ABC所成二面角的大小。分析：面A１BD与面ABC在图中只有一个公共点Ｂ，由公理３保证，它们必有一条经过点Ｂ的公共直线，即二面角的棱。思路：延长A1D，AC，交于E点，连结BE，则BE是面A1BD与面ABC所成二面角的棱。易证BE⊥面A1B，可知∠A1BA是所求二面角的平面角，从而得出二面角的大小是45º。EF过C点作CF⊥ＢＥ于Ｆ点连接ＤＦ则∠CFD就是二面角的平面角。CF=CD则∠CFD=45º解法1（传统法）C1BACA1B1Ｄ解法2（向量法）zyxA-xyz解：建立空直角坐系如所示,A(0,0,0),1Aa(0,0,),3B22aa(,,0),D2a,a(0,),11(0,0,)nAAa��易知面ABC的法向量113AB(,,),(0,,)222aaaaADa�12ABD(,,),nxyz�的法向量设平面2121AB,A,nnD�由得：32xyzy2(3,1,2)n�任取1212122cos,2||||nnnnnn���即所求的二面角为45023022aayzaaxyazC1BACA1B1Ｄzyx1A2aa(0,-,),3B02a(,,0),D22aa,(0,),O注意:法向量法的关键就是建立适当的空间直角坐标系，以便较容易得到关键点的坐标，从而实现计算的优化。例4（2010陕西卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，BC=E、F分别是AD和PC的中点，求平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小。DBCAPzxyA-xyz建立空直角坐系如所示,A(0,0,0),D2(0,2,0),1(0,22,0)nAD��易知面PAB的法向量BE(2,2,0),BF(1,2,1)�2BEF(,,),nxyz�的法向量设平面22BE,BF,nn�由得：22020xyxyz2xzyz2(1,2,1)n�任取1212122cos,2||||nnnnnn���即所求的二面角为45解：2,PAAB22,FEB200，，E020，，F121，，...