图5-1-第五讲机械振动和机械波§5．1简谐振动5．1．1、简谐振动的动力学特点如果一个物体受到的回复力F回与它偏离平衡位置的位移x大小成正比，方—te向相反。即满足：F回=-Kx的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根FKa=―回=——据牛顿第二是律，物体的加速度mm，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。当物体运动到离O点距离为x处时，有F=F一mg=k(x+x)一mg回0式中xo为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有kxo二mg，因此F=kx回说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位x移成正比。因回复力指向平衡位置O,而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。5．1．2、简谐振动的方程图5-1-由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度①作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟x轴夹角为9°,那么在时刻t,参考圆上的质点与0的连线跟x的夹角就成为9二⑹+9°，它在x轴上的投影点的坐标x=Acos(ot+9。)2)这就是简谐振动方程，式中9°是t=0时的相位，称为初相：⑹+9°是t时刻的相位。参考圆上的质点的线速度为，其方向与参考圆相切，这个线速度在x轴上的投影是v二一Aocos(ot+9)0)3)这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度为A①2，其方向指向圆心，它在x轴上的投影是a=-Ao2cos(①t+9)0)4)这也就是简谐振动的加速度由公式(2)、(4)可得a=一①2x由牛顿第二定律简谐振动的加速度为Fka-—二一xmm因此有5)簧振子的运动是简谐振动，振动周简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以5．1．3、简谐振动的判据物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动：①物体运动中所受回复力应满足F=—kx；9②物体的运动加速度满足a=—①2x；9③物体的运动方程可以表示为x=Acos（®t+甲）0。事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的，由它可以导出另外两个条件②和③。§5.2弹簧振子和单摆简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。5．2．1、弹簧振子弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹ImT=2兀-k'O1）恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的图5-2-1弹簧振子，如果m和k都相同（如图5-2-1），贝怕们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长lo，振子的质量为m=1.0kg,电梯静止时弹簧伸长Al=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降mt=亦，然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长加随时间t变化的图线。由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期T=2兀/®=2兀/弋km因为k二rng/AI，所以T=2兀jAl「g=0.2兀(s)因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为n二t/T二兀/0.2K二5（次）当电梯向下加速运动时,振子受到向上的惯性力mg/2,在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在1A]=mg/k=M/2的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在3Al二mg/k=3Al/222的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是Al/2。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么Al〜t图线将是怎样的？(2)弹簧的组合设有几个劲度系数分别为ki、勺……kn的轻弹簧串联起来,组成一个新弹簧组，当这个新弹簧...
