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高考数学复习导数中的隐零点问题VIP免费

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衢州三中微专题系列之《导数中的隐零点问题》衢州三中李娜知识要点求解导数题时,经常会碰到导函数存在零点但求解比较繁杂甚至无法求解的情形,我们将这类问题称为“隐零点”问题。这类问题我们一般采用设而不求,通过整体代换和过渡,再结合其他条件,从而使问题得到解决。解隐零点问题的一般策略:第一步:用零点存在性定理(或用二分法进一步缩小零点的范围)判断导函数零点的存在性。列出零点方f′(x0)=0,并结合f(x)的单调性得到零点的范围。第二步:将零点方程f′(x0)=0适当变形,整体代入最值式子中进行化简证明、求最值、解不等式等。典例分析【类型一】不含参函数的隐零点问题(构造关于隐零点的单一函数进行求解)已知不含参函数f(x),导函数方程f'(x)0的根存在,却无法求出,设方程f'(x)0的根为x0,则①有关系式f'(x0)0成立,②注意确定x0的合适范围.例1已知函数f(x)=(ae﹣a﹣x)e(a≥0,e=2.718…,e为自然对数的底数),若f(x)≥0对于x∈R恒成立.(1)求实数a的值;(2)证明:f(x)存在唯一极大值点x0,且【解答】(1)a=1,证明略;(2)证明:由(1)f(x)=e(e﹣x﹣1),故f'(x)=e(2e﹣x﹣2),令h(x)=2e﹣x﹣2,h'(x)=2e﹣1,所以h(x)在(﹣∞,ln)单调递减,在(ln,+∞)单调递增,xxxxxxxx.h(0)=0,h(ln>0, h(﹣2)h(ln)=2eln﹣ln﹣2=ln2﹣1<0,h(﹣2)=2e﹣2﹣(﹣2)﹣2=)<0由零点存在定理及h(x)的单调性知,)有唯一根,方程h(x)=0在(﹣2,ln设为x0且2e﹣x0﹣2=0,从而h(x)有两个零点x0和0,所以f(x)在(﹣∞,x0)单调递增,在(x0,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,从而f(x)存在唯一的极大值点x0即证,由2e﹣x0﹣2=0得e=x0x0x0,x0≠﹣1,∴f(x0)=e(e﹣x0﹣1)=()=2x0x0(﹣x0﹣1)=(﹣x0)(2+x0)≤,取等不成立,所以f(x0)<又 ﹣2<x0<ln得证,,f(x)在(﹣∞,x0)单调递增﹣2﹣2所以f(x0)>f(﹣2)=e[e﹣(﹣2)﹣1]=e﹣4+e﹣2>e﹣2>0得证,从而0<f(x0)<例2已知函数(1)讨论的最值;.成立.(2)若【解析】,求证:..(1)依题意,得递减,故②当.①当时,,所以在上单调不存在最大值和最小值;时,由得,.当变化时,与的变化情况如下表(2)当,,由,设,可知,则在,设上单调递增.因为,.当变化时,与,所以存在唯一的的变化情况如下表:,使得由上表可知,在上单调递减,在上单调递增,故当.由.又,所以,所以不等式【类型二】含参函数的隐零点问题对于含参数的隐零点问题,在整体代换时,需要利用零点方程得出参数与零点的关系,将参数用零点表示,再结合具体问题进行求解、已知含参函数f(x,a),其中a为参数,导函数方程f'(x,a)0的根存在,却无法求出,设方程f'(x)0的根为x0,则①有关系式f'(x0)0成立,该关系式给出了x0,a的关系,②注意确定x0的合适范围,往往和a的范围有关.例3已知函数f(x)ex+m时,可得取得极小值,也是最小值,即,所以,所以,即成立.[来源:Zxxk.Com]x3,gxlnx12.(Ⅰ)若曲线yfx在点0,f0处的切线斜率为1,求实数m的值;(Ⅱ)当m1时,证明:fxg(x)x3.解:(Ⅰ)因为f(x)ex+mx3,所以f(x)ex+m3x2.………………………1分因为曲线yfx在点0,f0处的切线斜率为1,所以f0e1,解得m0.…………………………………………………2分m(Ⅱ)设hxex+mlnx12,则hxex+m1.x1设pxex+m11,则pxex+m0.2x1x1所以函数p(x)hxex+m因为m1,所以h1e所以函数hxex+m1在-1,+上单调递增.………………6分x1mme1e+mememe1e10,h0em10.m1在-1,+上有唯一零点x0,且x01em,0.x1…8分因为hx00,所以ex0+m1,即lnx01x0m.………………9分x01当x0,x0时,hx0;当xx0,时,hx0.所以当xx0时,hx取得最小值hx0.……………………………………10分所以...

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