《初高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，，则中元素的个数为A．2B．3C．4D．62．复数的虚部是A．B．C．D．3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A．，B．，C．，D．，4．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A．60B．63C．66D．695．设为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，若，则的焦点坐标为A．，B．，C．D．6．已知向量，满足，，，则，A．B．C．D．7．在中，，，，则A．B．C．D．8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．B．C．D．9．已知，则A．B．C．1D．2第1页（共16页）《初高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！10．若直线与曲线和圆都相切，则的方程为A．B．C．D．11．设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为4，则A．1B．2C．4D．812．已知，．设，，，则A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，满足约束条件则的最大值为．14．的展开式中常数项是（用数字作答）．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．16．关于函数有如下四个命题：①的图象关于轴对称．②的图象关于原点对称．③的图象关于直线对称．④的最小值为2．其中所有真命题的序号是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设数列满足，．（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和．18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）锻炼人次空气质量等级，，，1（优216252（良510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次人次第2页（共16页）《初高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！空气质量好空气质量不好附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．21．（12分）设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．（1）求；（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数且，与坐标轴交于，两点．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设，，，，．（1）证明：；（2）用，，表示，，的最大值，证明：，，．第3页（共16页）《初高中数学教研微信系列群》——因为你的加入，教研更精彩！2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，，则中元素...
