01最值系列之——将军饮马〔一〕一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河〞，这是唐代诗人李颀?古参军行?里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马〞。【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营将军/【问题简化】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小?【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短〞、“点到直线的连线中，垂线段最短〞等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A',连接PA'，那么PA'=PA，所以P4+PB=P4'+PB当A'、P、B三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值〔两点之间线段最短〕A端点I\/\°P折点【思路概述】作端点〔点A或点B〕关于折点〔上图P点〕所在直线的对称，化折线段为直线段.PP二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得APMN周长最小.此处M、N均为折点，分别作点P关于OA〔折点M所在直线〕OB〔折点N所在直线〕的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP'',当P'、M、N、P''共线时，NPMN周长最小．【例题】如图，点P是ZAOB内任意一点，ZAOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，那么APMN周长的最小值为.【分析】APMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于0B、0A对称点P'、P''，化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M.当P'、N、M、P''共线时，得APMN周长的最小值，即线段P'P"长，连接0P\OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8.B【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ'，当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。【一定两动之点线】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P'，将折线段PM+MN转化为P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值〔点到直线的连线中，垂线段最短〕A．(2,2)D．(3,3)三、几何图形中的将军饮马寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】1．正方形中的将军饮马【关于对角线对称】如图，正方形ABCD的边长是4,M在DC上，且DM=1,N是AC边上的一动点，那么△DMN周长的最小值是．【分析】考虑DM为定值，故求“OMN周长最小值即求DN+MN最小值.点N为折点,作点D关于AC的对称点，即点B,连接BN交AC于点N,此时“DMN周长最小.【假装不存在的正方形】〔2021•山东聊城〕如图，在Rt^ABO中，ZOBA=90。，A〔4,4〕，点C在边AB上,且AC:CB=1:3,点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）也可以作点C的对称:A．D．【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线OA的对称:隐身的正方形】〔2021•辽宁营口〕如图，在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点，那么PC+PD的最小值为（）【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时，PC+PD最小,最小值为5,应选B.B．2．三角形中的将军饮马【等边系列】如图，在等边△ABC中，AB=6,N为AB上一点且BN=2AN,BC的高线AD交BC于点D,M是AD上的动点，连结BM,MN,那么BM+MN的最小值是.【分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN,即为所求的最小值.过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7.【隐身的等边三角形】如图，在RtbABD中，AB=6，ZBAD=30°，ZD=90°，N为AB上一点且BN=2AN，M是AD上的动点，连结BM，MN,那么BM+MN的最小值是.分析】对称点并不一定总是在图形上．【角分线系列之点点】〔2021•山东潍坊〕如图，在RtAABC中，ZACB=90。，AC=6.AB=12,AD平分ZCAB,点F是AC的中点，点E是AD上的动点，那么CE+EF的最小值为()A.3B.4C.3打D.2、3【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C'在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C'E+EF，当C'、E、F共线时得最小值，C'F为CB的一半...
