按年龄分组的种群增长模型一一模型种群直接通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便。下面提到的种群数量均指其中的雌性，总体数量可按照一定的性别比算出。将种群按年龄大小等间隔地分成个年龄组，如每岁或岁为组。与之相对应，时间也分成与年龄组区间大小相等的时段，女口年或年为一个时段。记时段第年龄组的种群数量为在稳定的环境下和不太长的时间内，合理地假设种群的繁殖率和死亡率不随时段变化，只与年龄组有关。记第年龄组的繁殖率为,即每个（雌性）个体在个时段内繁殖的数量；记第年龄组的死亡率为，即个时段内死亡数量（占总量）的比例。称为存活率。通常，和可由统计资料获得，且有以下性质：,,,,，,且至少有一个；，种群数量的变化规律由个基本关系得到：时段第年龄组的数量是各年龄组在时段的繁殖数量之和；时段第年龄组（，，……，）的数量是时段第年龄组存活下来的数量，由此得到Mb兀（k），''（）iii=1（），（）是差分方程组，记种群数量在时段按照年龄组的分布向b1s10bn-1sn-当矩阵和按年龄组的初始分布已知时，可以预测种群数量量为由繁殖率和存活率构成的矩阵limx(k)kT8则（），（）可表为时间段k按年龄组的分布为有了k不难算出种群在时段k的总数。显然，种群数量的变化规律完全由矩阵确定，这个矩阵是世纪年代由提出的，称矩阵（简称矩阵），由（）（）给出的模型称模型。模型的稳态分析下面研究时间充分长以后（即kfg）,种群的年龄结构和数量的变化。首先不加证明的叙述关于矩阵的两个定理。定理矩阵有惟一的单重正特征根人和正特征向量该定理表明。矩阵的特征方定理若矩阵第行有个顺次的，,大于，则定理（）式中仅不等号成立，且（）式表示的满对模型，定理的条件通常是成立的,由此可对充分大（）的特征向量一致，故可称为稳定分布，它与初始分布无关。其他特征根人满足只有一个正单根A，且容易验证人lim響（）k卞入1其中是由，和决定的常数D以后种群的年龄结构和数量作出如下分析由（）式直接有—A,充分大（）表明种群的年龄结构趋向稳定，各年龄组的数量占总量的比例与由（）式又有充分大（）充分大，，，表明种群各年龄组的数量也趋向稳定，都是上时段同一年龄组的A倍。显然，A时种群各年龄组的数量递增，A时递减，A称为固有增长率。不妨将（）给出的近似关系与原模型（）加以对比。）当固有增长率人时，由（）和（）式得这个结果表明—,充分大，，，，（）即存活率等于同一时段相邻年龄组（与）的种群数量之比。如果将（）给出的近似关系与原模型（）进行对比，能说明什么？实际上，由（）式，固有增长率人等价于若将（）左端记作可知表示一个（雌性）个体在整个存活期内繁殖的平均数量，称为总和繁殖率，容易证明，时种群数量增长，时种群数量减少。对于人工饲养的动物，可以调节各年龄组的繁殖率和存活率来改变总和繁殖率按年龄分组的人口模型按照模型的基本思路，将考虑年龄结构和生育模式的连续型人口模型离散化，即可得到离散形式的人口模型，这里不考虑迁移等社会因素的影响。用表示第年岁（指满岁但不到岁）的总人数，,,,，,,,，（设为最咼年龄），表示第年第岁女性生育率（每位女性平均生育的婴儿数），育龄区间为，。简化地假设女性比与时间无关，用表示岁人口的女性比，于是第年出生的婴儿数为Eb(t)kx(t)()iiii=i1引入生育模式将分解为P(t)，Eh()ii=i1这里简化地假设生育模式只与年龄有关，其具体形式可取连续型人口模型给出的2分布。由()，()式有P(t)Ehkx(t)()iiii=i1P(t)=Eb(t)()ii=i1P(t)是第年所有孕龄女性平均生育的婴儿数，若女性在整个孕龄期内保持生育率不变，则P(t)就是第年岁的每位女性一生平均生育的婴儿数，即总和生育率(简称生育率)或生育胎次，是控制人口数量的主要参数。简化地假设死亡率与时间无关，记岁人口的死亡率为，存活率为，,，……，，贝I」,而是第年出生的婴儿中存活下来的数量，即(这里)，于是P(t)Erx(t)，()iii=i1引入按年龄分组的人口分布向量为了清楚地表明p（t）的作用，将）式的矩阵分解成两个矩阵，工兀(t)()ii=0平均年龄平均寿命工exp(—工d(t))()j=o19780110=3.02070208...
