2015秋八年级数学上册12.2三角形全等的判定运用全等三角形证题的基本思路新版新人教版VIP免费

运用全等三角形证题的基本思路运用全等三角形能够证明若干与线段或角有关的几何问题．那么如何证明两个三角形全等呢？一般来说，应根据题设条件，结合图形寻求边或角相等，使之逐步逼近某一判定公理或定理，其基本思路有：一、有两边对应相等，则寻求夹角或第三边对应相等．例1已知：如图1，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，求证：BD＝CE．分析：要证明BD＝CE，只要证明△ABD≌△ACE．因为已知条件已给出了有两边对应相等，所以只需证明这两边的夹角也相等，即∠BAD＝∠CAE．而根据图形和已知条件“∠1＝∠2”，即可获证．证明： ∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAC＝∠2＋∠BAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），故BD＝CE．例2已知：如图2，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，求证：AB∥DF．分析：要证明AB∥DF，只要证明∠B＝∠F，由于∠B、∠F分别在△ABC和△DFE中，这就要证明△ABC≌△DFE，因为已知条件给出了两边对应相等，所以可证明两个三角形的第三条边对应相等，即BC＝FE，而根据图形和已知条件“BE＝FC”，即可获证．证明： BE＝FC，∴BE＋EC＝FC＋CE，即BC＝FE．在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠B＝∠F，故AB∥DF．二、有两角对应相等，则寻求夹边或任一等角的对边对应相等．例3已知：如图3，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．分析：要证明AB＝CD，AD＝BC，只要连结AC，证明△ABC≌△CDA，因为已知条件告诉AB∥CD，AD∥BC，这就等于告诉∠1＝∠2，∠3＝∠4，而AC又是它们的夹边，则问题获证．证明：连结AC， AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（ASA），故AB＝CD，AD＝BC．例4已知：如图4，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＝CD．分析：要证明BE＝CD，只要证明△BCE≌△CBD，在这两个三角形中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，而∠1的对边是BC，∠2的对边是CB，且有BC＝CB，则问题获证．证明：在△BCE和△CBD中，∴△BCE≌△CBD（AAS）故BE＝CD．三、有一边和该边的对角对应相等，则寻求另一角对应相等．例5已知：如图5，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足为D、E．求证：BD＝AE．分析：要证明BD＝AE，只要证明△ABD≌△CAE，现有条件是一边和该边的对角对应相等，则还需再证明另一角对应相等，而不难发现∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3，则问题获证．证明： BD⊥MN，CE⊥MN，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°． ∠2＋∠3＝90°．∴∠1＝∠3．在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），故BD＝AE．四、有一边和该边的邻角对应相等，则寻求夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等．例6已知：如图6，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝45°，E是AC上一点，延长BC到D，使CD＝CE．求证：BF⊥AD．分析：要证明BF⊥AD．只要证明∠1＋∠2＝90°，这时∠AFE＝90°，又∠3＋∠4＝90°，∠2＝∠3，那么只需证明∠1＝∠4，这时只要证明△ACD≌△BCE，在这两个三角形中，已知有一边和该边的邻角对应相等，只要证明CA＝CB，此时条件中有∠CBA＝45°，可得到CA＝CB，则问题获证．证明： ∠ACB＝90°，∠CBA＝45°，∴CA＝CB．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠1＝∠4． ∠4＋∠3＝90°，∠3＝∠2．∴∠1＋∠2＝90°，故BF⊥AD．例7已知：如图7，AB＝AC，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：AD＝AE．分析：要证明AD＝AE，只要证明△ABD≌△ACE，由已知条件知，有一边和该边的邻角对应相等，只要再证明另一角对应相等，此时有∠1＝∠2，可得∠BAD＝∠CAE，则问题获证．证明： ∠1＝∠2．∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（ASA），故AD＝AE．五、对于直角三角形来讲，则优先考虑运用“斜边、直角边公理”，当此路不通时，再回到上述思路中去．例8已知：如图8，AD⊥DB，BC⊥CC，AC＝BD，求证：AD＝BC．分析：要证明AD＝BC，只要证明△ADB≌△BCA，而这两个三角形是直角三角形，可考虑运用“斜边、直角边公理”证明，此时由题设条件AC＝BD，结合图形AB＝BA，则问题获证．证明： AD⊥DB，BC⊥CA，∴△ADB和...